class:  fullscreen, center, middle
```{r xaringan-themer, include=FALSE, warning=FALSE}
library(tidyverse)
library(xaringanthemer)
style_duo_accent(primary_color = "#4953A6", secondary_color = "#FFD58D" ,
                 background_color = "#f8f7f3",
                 header_font_google = google_font("Archivo"),
                 text_font_google   = google_font("Inconsolata"), 
                 link_color="#DF484C"

)
```


![mometos](momentos.jpg)
---
class: inverse, center, middle

#Primer momento
##Valor Esperado

---
## Valor Esperado

El valor esperado de una variable es el análogo teórico de un promedio. Los posibles valores de la variable se ponderan por su probabilidad de ocurrencia. En el caso de variables discretas:

<br>
--

\begin{align}
\mathbb{E}(X) &= \sum_{i} x_{i} \times \mathbb{P}(X=x_{i}) \\
&\equiv  \sum_{i} x_{i} \times f(x_{i})
\end{align}

<br>
--
Es teórico porque esta información la podemos saber *a priori*, sin necesidad de datos. 

--

Análogamente, para variables continuas:

\begin{align}
\mathbb{E}(X) =  \int x f(x)dx
\end{align}

---
## Valor Esperado, variable discreta

Por ejemplo, supongamos que $Y$ es una variable que resulta de tirar un dado "justo".  ¿Cuál es el valor esperado de $Y$?

<br>
--

\begin{align}
\mathbb{E}(Y) &= \sum_{i}y_{i} \times \mathbb{P}(Y=y_{i})  \\ \\
     &=  1 \times  \frac{1}{6}+ 2 \times \frac{1}{6} + \dots + 6 \times \frac{1}{6}  \\ \\
     &= 3.5
\end{align}


---
## Valor Esperado, variable continua


<iframe src="https://mebucca.shinyapps.io/class_5/" style="width: 100%; height: 600px;"></iframe>



---
## Valor Esperado, algunas propiedades útiles  

<br>
--

1) El valor esperado de una constante es una constante.

$$\mathbb{E}(c)=c$$
<br>
--

2) Si $X$ es una variable aleatoria y $c$ una constante, entonces 

$$\mathbb{E}(c X)= c \mathbb{E}(X)$$
<br>
--

3) Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias (sin importar si $X \bot Y$ o no), entonces

$$\mathbb{E}(X + Y)=  \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$


---
## Valor Esperado, ejemplo

Por ejemplo, supongamos que $X_{i}$ es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ $1000$ de base, más el resultado de cada dado $i$ multiplicado por 100.
--

 ¿Cuánto es el premio esperado?

--

.center[
```{r, echo=FALSE, fig.height=6, fig.width=10, message=FALSE, warning=FALSE}
library("tidyverse")

library("tidyverse")

n <- 10  # Number of dice rolls
simulations <- 10000  # Number of times to simulate the game

# Simulate rolling a die n times, for 'simulations' times
set.seed(123)  # For reproducibility
results <- replicate(simulations, sum(sample(1:6, n, replace = TRUE)))

# Calculate the prize for each simulation
prizes <- 1000 + 100 * results

# Create data frame for plotting
df <- tibble(prize = prizes)

# Calculate mean and standard deviation of the prizes
mean_prize <- mean(prizes)
std_dev <- sd(prizes)

# Bar plot of prizes
plot <- ggplot(df, aes(x = prize)) +
  geom_bar(aes(y = ..prop..), fill = "#FFD58D", color = "black", width = 100) +
  
  # Add a dashed line for the mean
  geom_vline(aes(xintercept = mean_prize), linetype="dashed", size = 1) +
  
  # Add a text label with the Greek letter µ for the mean
  annotate("text", x = mean_prize + 150, y = 0.075, label = expression(mu), size = 5) +
  labs(y = "P(Premio = x)", x = "Monto del Premio ($)", title = "Distribución del premio") +
  
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.text.y = element_text(size = 22),
    axis.text.x = element_text(size = 22),
    axis.title.y = element_text(size = 24),
    axis.title.x = element_text(size = 24),
    panel.border = element_rect(color = "black", fill = NA, linewidth = 1)
  )

print(plot)


```
]

---

## Valor Esperado, ejemplo

Por ejemplo, supongamos que $X_{i}$ es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ $1000$ de base, más el resultado de cada dado $i$ multiplicado por 100. ¿Cuánto es el premio esperado?

<br>
--

$$G = 1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100 \quad \text{ por tanto,}$$

--

$$\mathbb{E}(G) = \mathbb{E}(1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100)$$

--

$$\mathbb{E}(G) = 1000 + 100 \times \sum^{n=10}_{i=1}\mathbb{E}(X_{i})$$

--

$$\mathbb{E}(G) = 1000 + 10 (3.5 + 3.5 + \dots + 3.5)) = 1000 + 100 \times 10 \times 3.5 = \$4500$$ 

---
## Valor Esperado de variables discretas

###  Bernoulli

Si X es una variable Bernoulli, su valor esperado viene dado por:

<br>

\begin{align}
\mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_{i} \times \mathbb{P}(X=x_{i}) &= \sum_{i} x_{i} \times p^{x_{i}}(1-p)^{1 - x_{i}} \\ 
     &= 1 \times p + 0 \times (1-p) \\ 
     &= p
\end{align}

--
### Binomial

Si X es una variable Binomial, su valor esperado viene dado por:

\begin{align}
\mathbb{E}(X) = np
\end{align}

--
.bold[Pregunta]: ¿Cuántas "Caras" debo esperar si tiro 200 monedas "justas"?

--

.bold[Respuesta]: $np = 200 \times 0.5 = 100$



---
class: inverse, center, middle

#Segundo momento
##Varianza


---
## Varianza 

La varianza de una variable aleatoria es el análogo teórico de la varianza de los datos.
--
 Mide cuánta dispersión existe en torno al centro (la media). Formalmente, en el caso de variables aleatorias discretas:

<br>

$$\mathbb{Var}(X) = \sum_{i} \bigg( x_{i} - \mathbb{E}(X) \bigg)^{2} \times f_{X}(x_{i})$$
<br>
--

Análogamente, para variables continuas:

\begin{align}
\mathbb{Var}(X) =  \int \bigg(x -  \mathbb{E}(X)\bigg)^{2} f(x)dx
\end{align}

---
## Varianza
Por ejemplo, si $Y$ es una variable que resulta de tirar un dado "justo", ¿cuál es la varianza de $Y$?

<br>
--

\begin{align}
\mathbb{Var}(Y) &= \sum_{i} \bigg( y_{i} - \mathbb{E}(Y) \bigg)^{2} \times f_{Y}(y_{i})   \\ \\
     &=  (1 - 3.5)^{2} \times  \frac{1}{6} + (2-3.5)^{2} \times \frac{1}{6} + \dots + (6-3.5)^{2} \times \frac{1}{6}  \\ \\
     &= 2.91
\end{align}


---
## Varianza, algunas propiedades útiles  


<br>
--

1) La varianza de una constante es cero.

<br>

$$\mathbb{Var}(c)=0$$

<br>
--

2) Si $X$ es una variable aleatoria y $c$ una constante, entonces 

<br>

$$\mathbb{Var}(c X)= c^{2} \mathbb{Var}(X)$$

<br>
--

3) Si $X$ e $Y$ son dos variables aleatorias .bold[independientes], entonces

<br>

$$\mathbb{Var}(X \pm Y) =  \mathbb{Var}(X) + \mathbb{Var}(Y)$$


---
## Varianza, ejemplo  

Por ejemplo, supongamos que $X_{i}$ es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ $1000$ de base, más el resultado de cada dado $i$ multiplicado por 100.
--

 ¿Cuánto es la desviación estándar del premio?

--

.center[
```{r, echo=FALSE, fig.height=6, fig.width=10, message=FALSE, warning=FALSE}
library("tidyverse")

library("tidyverse")

n <- 10  # Number of dice rolls
simulations <- 10000  # Number of times to simulate the game

# Simulate rolling a die n times, for 'simulations' times
set.seed(123)  # For reproducibility
results <- replicate(simulations, sum(sample(1:6, n, replace = TRUE)))

# Calculate the prize for each simulation
prizes <- 1000 + 100 * results

# Create data frame for plotting
df <- tibble(prize = prizes)

# Calculate mean and standard deviation of the prizes
mean_prize <- mean(prizes)
std_dev <- sd(prizes)

# Bar plot of prizes
plot <- ggplot(df, aes(x = prize)) +
  geom_bar(aes(y = ..prop..), fill = "#FFD58D", color = "black", width = 100) +
  
  # Add a dashed line for the mean
  geom_vline(aes(xintercept = mean_prize), linetype="dashed", size = 1) +
  
  # Add dashed lines for mean ± 1 standard deviation
  geom_vline(aes(xintercept = mean_prize - std_dev), linetype="dashed", color = "#4953A6", size = 1) +
  geom_vline(aes(xintercept = mean_prize + std_dev), linetype="dashed", color = "#4953A6", size = 1) +
  
  # Add a text label with the Greek letter µ for the mean
  annotate("text", x = mean_prize + 150, y = 0.075, label = expression(mu), size = 5) +
  
  # Add a text label with the Greek letter σ for the standard deviation
  annotate("text", x = mean_prize + std_dev + 150, y = 0.075, label = expression(sigma), size = 5, color = "#4953A6") +
  annotate("text", x = mean_prize - std_dev - 150, y = 0.075, label = expression(-sigma), size = 5, color = "#4953A6") +

  labs(y = "P(Premio = x)", x = "Monto del Premio ($)", title = "Distribución del premio") +
  
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.text.y = element_text(size = 22),
    axis.text.x = element_text(size = 22),
    axis.title.y = element_text(size = 24),
    axis.title.x = element_text(size = 24),
    panel.border = element_rect(color = "black", fill = NA, linewidth = 1)
  )

print(plot)


```
]


---
## Varianza, ejemplo  

Por ejemplo, supongamos que $X_{i}$ es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ $1000$ de base, más el resultado de cada dado $i$ multiplicado por 100. ¿Cuánto es la desviación estándar del premio?

<br>
--

$$G = 1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100 \quad \text{ por tanto,}$$

--

$$\mathbb{Var}(G) = \mathbb{Var}(1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100)$$

--

$$\mathbb{Var}(G) = \mathbb{Var}(1000) + 100^{2} \times \sum^{n=10}_{i=1}\mathbb{Var}(X_{i})$$

--

$$\mathbb{Var}(G) =  0 +  100^{2} \times 10 \times 2.9167 = \$291,670$$ 


<br>
--

$$\sigma_{G} = \sqrt{0 + 100 \times 100 \times 291,670} = \$ 539.88$$

---
## Varianza de variables discretas

### Bernoulli

Si X es una variable Bernoulli, su varianza viene dada por:

<br>

\begin{align}
\mathbb{Var}(X) &= \sum_{i} \bigg( x_{i} - \mathbb{E}(X) \bigg)^{2} \times f(x_{i})  \\ \\
 &= (1 - \mathbb{E}(X))^{2} \times \mathbb{P}(X=1) + (0 - \mathbb{E}(X))^{2} \times \mathbb{P}(X=0) \\ \\
 &= (1 - p)^{2} \times p +  (0 - p)^{2} \times (1-p) \\ \\
 &=p^{2} − p^{3} + p − 2p^{2} + p^{3} \\ \\
 &=p(1-p)
\end{align}

---
## Varianza de variables discretas

### Binomial

Si X es una variable Binomial, su varianza viene dada por:

\begin{align}
\mathbb{Var}(X) = n \times p(1-p)
\end{align}

<br>
--
.bold[Pregunta]: ¿Cuánta variabilidad debo esperar en el número de "Caras" si tiro 200 monedas "justas"?

--

.bold[Respuesta]: varianza es $n \times p(1-p) = 200 \times 0.5 \times 0.5 = 50$. La desviación estándar es $\sqrt{50} = 7.01$.

---
## Varianza de variables Binomial

.bold[Ilustración via Monte Carlo simulation]

```{r}

# Repeat experiment of tossing 200 coins 10000 times
coins200 <- rbinom(10000, size=200, p=0.5)
glimpse(coins200)
moments = list(mean=mean(coins200), var=var(coins200))
print(moments)
```


---

class: inverse, center, middle

.huge[
**Hasta la próxima clase. Gracias!**
]

<br>
Mauricio Bucca <br>
https://mebucca.github.io/ <br>
github.com/mebucca




