class: inverse, center, middle
```{r xaringan-themer, include=FALSE, warning=FALSE}
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                 background_color = "#f8f7f3",
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)
```

## Probabilidades condicional 

---

### Probabilidad condicional

.bold[Probabilidad condicional] es un concepto crucial en teoría de la probabilidad y subyace al propósito principal del análisis de asociación estadística.

--

La probabilidad de un evento A después de que nos enteramos de que se ha producido el evento B se denomina probabilidad condicional de A dado B. Formalmente:

$$\mathbb{P}(A \mid B)$$
--

Ejemplo:
- Experimento: tirar un dado "justo"
- Espacio muestral, $\Omega: \{1,2,3,4,5,6\}$
- A es el evento de obtener un cuatro o más,  $A: \{4,5,6\}$
- B es el evento de obtener un número par, $B: \{2,4,6\}$

Supongamos que tiramos el dado pero no miramos el resultado todavía. Una tercera persona nos dice que obtuvimos un número par.

--
.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuatro o más una vez que sabemos que el resultado es un número par?
]
]

---

### Probabilidad condicional

Formalmente, nuestra pregunta se expresa del siguiente modo: $\mathbb{P}(A \mid B )$.

<br>

$$\mathbb{P}(A \mid B ) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)}$$

Donde,
- $\mathbb{P}(B)$ es la probabilidad de que B ocurra. Es decir obtener un número .bold[par]

- $\mathbb{P}(A,B)$ es la probabilidad de que A y B ocurran conjuntamente. Es decir, obtener un número .bold[par, igual o mayor que 4]


--
<br>
Intuitivamente, queremos saber en qué proporción de los casos en que B ocurre, A también ocurre. 

---
### Probabilidad condicional

En nuestro caso,

<br>
--

\begin{align}
\mathbb{P}(A | B ) &= \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} \\ \\
&= \frac{\mathbb{P}(\text{dado=4 o dado=6}) }{\mathbb{P}(\text{dado=2 o dado=4 o dado=6})} \\ \\
&=  \frac{2/6}{3/6} = \frac{1}{3} \times 2 \approx 0.66
\end{align}


---
### Probabilidad condicional


.bold[Ejercicio rápido]:

Supongamos que:
- Un 5% de la población son mujeres (M) con estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan un 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos

--

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
1) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es mujer?
]
]

--

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

1) 
\begin{align}
\mathbb{P}(U \mid M) = \frac{\mathbb{P}(U,M)}{\mathbb{P}(M)} = \frac{0.05}{0.55} \approx  0.09
\end{align}
]
]

---

### Probabilidad condicional

.bold[Ejercicio rápido]:

Supongamos que:
- Un 5% de población son mujeres (M) con un estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos


.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
2) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con estudios universitarios completos sea mujer?
]
]

--

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

2) 
\begin{align}
\mathbb{P}(M \mid U) = \frac{\mathbb{P}(U,M)}{\mathbb{P}(U)} = \frac{0.05}{0.2} = 0.25
\end{align}
]
]


---

### Probabilidad condicional

.bold[Ejercicio rápido]:

Supongamos que:
- Un 5% de población son mujeres (M) con un estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos


.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
3) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con estudios universitarios completos sea hombre (H)?
]
]

--

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

3) 
\begin{align}
\mathbb{P}(H \mid U) = \frac{\mathbb{P}(U,H)}{\mathbb{P}(U)} = 1- \mathbb{P}(M | U) = 1 - 0.25 = 0.75 
\end{align}
]
]


---
### Probabilidad condicional

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Bonus]:

4) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es hombre?

]
]

.bolder[Pista]: En general,
$$ \mathbb{P}(A | B) \neq \mathbb{P}(B | A)  $$
--
<br>
pero el .bold[Teorema de Bayes] nos dice cómo transformar uno en el otro.

---
class: inverse, center, middle

## Teorema de Bayes

---
### Thomas Bayes

.middle[.center[![bayes](tbayes.png)]]

---
### Teorema de Bayes


La probabilidad de A dado B está definida como:

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
<br>
--

Por tanto, la probabilidad de B dado A está definida como:

$$\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(A)} \quad \quad \quad \quad \quad (2)$$
<br>
--

Por tanto: 

$$\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A) \quad \quad \quad \quad  (3)$$
<br>
--

Reemplazando (3) en (1) obtenemos:


$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad $$

---
### Teorema de Bayes

Entonces, si

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad $$


<br>
re-ordenando la expresión encontramos ...

<br>
--


.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Teorema de Bayes]:
$$\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid B)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)} \quad \quad \quad \quad \quad $$
]
]

---
class: fullscreen,left, top, top, text-white
background-image: url(bayes.jpg)

---
### Teorema de Bayes en práctica

.bolder[Ejercicio rápido]:

- Un 5% de la población son mujeres (M) con estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan un 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos


.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Bonus]:
4) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es hombre?
]
]
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

4) 
\begin{align}
\mathbb{P}(U \mid H) = \frac{\mathbb{P}(H \mid U)\mathbb{P}(U)}{\mathbb{P}(H)} =   \frac{0.75 \times 0.2}{0.45} = 0.333
\end{align}
]
]

---
class: inverse, center, middle

## Ley de "probabilidad total"

---
### Ley de "probabilidad total"

Si $\{B_{1}, B_{2}., \dots, B_{n}\}$ es un conjunto de particiones "desunidas" y mutuamente excluyentes del espacio muestral, entonces:

\begin{align}
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A,B_{i})
\end{align}

<br>
--

dado que, como vimos, $\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(A \mid B)\mathbb{P}(B)$, entonces ...

<br>
--

\begin{align}
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A \mid B_{i})\mathbb{P}(B_{i})
\end{align}

---
### Ley de "probabilidad total"

.bold[Ejercicio rápido]:


- Las mujeres (M) representan un 55% de la población
- El 20% de los hombres (H) tiene estudios universitarios completos (U)
- El 25% de las mujeres tiene estudios universitarios completos

--

.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga estudios universitarios completos?
]

--

.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:
\begin{align}
\mathbb{P}(U) &= \mathbb{P}(U \mid H)\mathbb{P}(H) + \mathbb{P}(U \mid M)\mathbb{P}(M) \\ \\
              &= 0.2 \times 0.45 + 0.25 \times 0.55 \\ \\
              &= 0.2275
\end{align}

]

---
class: inverse, center, middle

## Independencia estadística

---
### Independencia

Dos eventos A y B son .bold[independientes] cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B y viceversa. 

--

Independencia es un caso especial de probabilidad condicional: $A \bot B$ si el conocimiento sobre B no cambia nuestro conocimiento sobre A. Formalmente:

$$\mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \quad \iff \quad \mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B)$$ 
<br>
--
A partir de esta definición podemos derivar un test matemático de independencia:

<br>

\begin{align}
  &\mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \\ \\
  &\frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} = \mathbb{P}(A) \\  \\
  &\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) 
\end{align}

<br>
--
Si dos eventos A y B son independientes entonces debe ser cierto que $\mathbb{P}(A,B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$

---
### Independencia

Ejemplo:
- Experimento: lanzar dos monedas justas consecutivamente 
- A es el evento de obtener Cara con la primera moneda
- B es el evento de obtener Sello con la segunda moneda

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Son A y B dos eventos independientes?
]
]

--

.pull-left[
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Sabemos que...]
- $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1/2$

- $\Omega: \{CC,CS,SC,SS\}$

- $(A,B) = \{CS\}$

- $\mathbb{P}(A,B) = 1/4$

]
]
]

--

.pull-right[
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Test de independencia]

Si A y B son eventos independientes entonces deberíamos esperar que $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = 1/4$

\begin{align}
\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}
]
]
]


---
class: inverse, center, middle

## Simulación Monte Carlo

---

### Independencia

.bold[Experimento]: Tiramos dos monedas simultáneamente, una justa y una moneda cargada (90% prob. Cara)

--

Si ambos lanzamientos son efectivamente independientes la probabilidad de obtener dos Caras debiera ser: $\mathbb{P}(C_{1}C_{2}) = \mathbb{P}(C_{1})\mathbb{P}(C_{2}) = 0.5 \times 0.9 = 0.45$

--

.pull-left[
```{r, echo=FALSE, message=FALSE}
library("tidyverse")
```
```{r}
# lanzamos ambas monedas 100000 veces
coin1 <- rbinom(1000,1, prob = 0.5)
coin2 <- rbinom(1000,1, prob = 0.9)
data_coins <- tibble(coin1=coin1,coin2=coin2)

print(data_coins, n=7)

```
]

--

.pull-right[
```{r}
# definimos evento exitoso: dos Caras
data_coins <- data_coins %>%
    mutate(cc = if_else(
      coin1==1 & coin2==1,
      "CC","Otro"))


#  probabilidad de obtener 2 Caras

knitr::kable(prop.table(
  table(data_coins$cc)),
  col.names = c("Resultado","Probabilidad"))




```
]

---
class: inverse, center, middle

.huge[
**Hasta la próxima clase. Gracias!**
]

<br>
Mauricio Bucca <br>
https://mebucca.github.io/ <br>
github.com/mebucca




