Análisis de Datos Categóricos

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.title[
# Análisis de Datos Categóricos
]
.subtitle[
## Probabilidad Condicional y Teorema Bayes
]
.author[
### Mauricio Bucca <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a>
]

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class: inverse, center, middle

## Probabilidades condicional

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### Probabilidad condicional

.bold[Probabilidad condicional] es un concepto crucial en teoría de la probabilidad y subyace al propósito principal del análisis de asociación estadística.

La probabilidad de un evento A después de que nos enteramos de que se ha producido el evento B se denomina probabilidad condicional de A dado B. Formalmente:

`$$\mathbb{P}(A \mid B)$$`
--

Ejemplo:
- Experimento: tirar un dado "justo"
- Espacio muestral, `$\Omega: \{1,2,3,4,5,6\}$`
- A es el evento de obtener un cuatro o más,  `$A: \{4,5,6\}$`
- B es el evento de obtener un número par, `$B: \{2,4,6\}$`

Supongamos que tiramos el dado pero no miramos el resultado todavía. Una tercera persona nos dice que obtuvimos un número par.

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.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuatro o más una vez que sabemos que el resultado es un número par?
]
]

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### Probabilidad condicional

Formalmente, nuestra pregunta se expresa del siguiente modo: `$\mathbb{P}(A \mid B )$`.

`$$\mathbb{P}(A \mid B ) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)}$$`

Donde,
- `$\mathbb{P}(B)$` es la probabilidad de que B ocurra. Es decir obtener un número .bold[par]

- `$\mathbb{P}(A,B)$` es la probabilidad de que A y B ocurran conjuntamente. Es decir, obtener un número .bold[par, igual o mayor que 4]

--
 
Intuitivamente, queremos saber en qué proporción de los casos en que B ocurre, A también ocurre.

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### Probabilidad condicional

En nuestro caso,

--

`\begin{align}
\mathbb{P}(A | B ) &= \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} \\ \\
&= \frac{\mathbb{P}(\text{dado=4 o dado=6}) }{\mathbb{P}(\text{dado=2 o dado=4 o dado=6})} \\ \\
&=  \frac{2/6}{3/6} = \frac{1}{3} \times 2 \approx 0.66
\end{align}`

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### Probabilidad condicional

.bold[Ejercicio rápido]:

Supongamos que:
- Un 5% de la población son mujeres (M) con estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan un 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
1) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es mujer?
]
]

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

1) 
`\begin{align}
\mathbb{P}(U \mid M) = \frac{\mathbb{P}(U,M)}{\mathbb{P}(M)} = \frac{0.05}{0.55} \approx  0.09
\end{align}`
]
]

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### Probabilidad condicional

.bold[Ejercicio rápido]:

Supongamos que:
- Un 5% de población son mujeres (M) con un estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
2) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con estudios universitarios completos sea mujer?
]
]

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

2) 
`\begin{align}
\mathbb{P}(M \mid U) = \frac{\mathbb{P}(U,M)}{\mathbb{P}(U)} = \frac{0.05}{0.2} = 0.25
\end{align}`
]
]

---

### Probabilidad condicional

.bold[Ejercicio rápido]:

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
3) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con estudios universitarios completos sea hombre (H)?
]
]

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

3) 
`\begin{align}
\mathbb{P}(H \mid U) = \frac{\mathbb{P}(U,H)}{\mathbb{P}(U)} = 1- \mathbb{P}(M | U) = 1 - 0.25 = 0.75 
\end{align}`
]
]

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### Probabilidad condicional

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Bonus]:

4) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es hombre?

]
]

.bolder[Pista]: En general,
$$ \mathbb{P}(A | B) \neq \mathbb{P}(B | A) $$
--
 
pero el .bold[Teorema de Bayes] nos dice cómo transformar uno en el otro.

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class: inverse, center, middle

## Teorema de Bayes

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### Thomas Bayes

.middle[.center[![bayes](tbayes.png)]]

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### Teorema de Bayes

La probabilidad de A dado B está definida como:

`$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$`
 
--

Por tanto, la probabilidad de B dado A está definida como:

`$$\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(A)} \quad \quad \quad \quad \quad (2)$$`
 
--

Por tanto:

`$$\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A) \quad \quad \quad \quad (3)$$`
 
--

Reemplazando (3) en (1) obtenemos:

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad $$

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### Teorema de Bayes

Entonces, si

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \quad \quad \quad \quad \quad $$

re-ordenando la expresión encontramos ...

--

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Teorema de Bayes]:
$$\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid B)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)} \quad \quad \quad \quad \quad $$
]
]

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class: fullscreen,left, top, top, text-white
background-image: url(bayes.jpg)

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### Teorema de Bayes en práctica

.bolder[Ejercicio rápido]:

- Un 5% de la población son mujeres (M) con estudios universitarios completos (U)
- Las mujeres representan un 55% de la población
- Un 20% de la población tiene estudios universitarios completos

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Bonus]:
4) ¿Cuál es la probabilidad de tener estudios universitarios completos si se es hombre?
]
]
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:

4) 
`\begin{align}
\mathbb{P}(U \mid H) = \frac{\mathbb{P}(H \mid U)\mathbb{P}(U)}{\mathbb{P}(H)} =   \frac{0.75 \times 0.2}{0.45} = 0.333
\end{align}`
]
]

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class: inverse, center, middle

## Ley de "probabilidad total"

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### Ley de "probabilidad total"

Si `$\{B_{1}, B_{2}., \dots, B_{n}\}$` es un conjunto de particiones "desunidas" y mutuamente excluyentes del espacio muestral, entonces:

`\begin{align}
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A,B_{i})
\end{align}`

--

dado que, como vimos, `$\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(A \mid B)\mathbb{P}(B)$`, entonces ...

--

`\begin{align}
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A \mid B_{i})\mathbb{P}(B_{i})
\end{align}`

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### Ley de "probabilidad total"

.bold[Ejercicio rápido]:

- Las mujeres (M) representan un 55% de la población
- El 20% de los hombres (H) tiene estudios universitarios completos (U)
- El 25% de las mujeres tiene estudios universitarios completos

.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga estudios universitarios completos?
]

.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:
`\begin{align}
\mathbb{P}(U) &= \mathbb{P}(U \mid H)\mathbb{P}(H) + \mathbb{P}(U \mid M)\mathbb{P}(M) \\ \\
              &= 0.2 \times 0.45 + 0.25 \times 0.55 \\ \\
              &= 0.2275
\end{align}`

]

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class: inverse, center, middle

## Independencia estadística

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### Independencia

Dos eventos A y B son .bold[independientes] cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B y viceversa.

Independencia es un caso especial de probabilidad condicional: `$A \bot B$` si el conocimiento sobre B no cambia nuestro conocimiento sobre A. Formalmente:

`$$\mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \quad \iff \quad \mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B)$$` 
 
--
A partir de esta definición podemos derivar un test matemático de independencia:

`\begin{align}
  &\mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \\ \\
  &\frac{\mathbb{P}(A,B)}{\mathbb{P}(B)} = \mathbb{P}(A) \\  \\
  &\mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) 
\end{align}`

--
Si dos eventos A y B son independientes entonces debe ser cierto que `$\mathbb{P}(A,B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$`

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### Independencia

Ejemplo:
- Experimento: lanzar dos monedas justas consecutivamente 
- A es el evento de obtener Cara con la primera moneda
- B es el evento de obtener Sello con la segunda moneda

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:
¿Son A y B dos eventos independientes?
]
]

.pull-left[
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Sabemos que...]
- `$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1/2$`

- `$\Omega: \{CC,CS,SC,SS\}$`

- `$(A,B) = \{CS\}$`

- `$\mathbb{P}(A,B) = 1/4$`

]
]
]

.pull-right[
.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Test de independencia]

Si A y B son eventos independientes entonces deberíamos esperar que `$\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = 1/4$`

`\begin{align}
\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}`
]
]
]

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class: inverse, center, middle

## Simulación Monte Carlo

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### Independencia

.bold[Experimento]: Tiramos dos monedas simultáneamente, una justa y una moneda cargada (90% prob. Cara)

Si ambos lanzamientos son efectivamente independientes la probabilidad de obtener dos Caras debiera ser: `$\mathbb{P}(C_{1}C_{2}) = \mathbb{P}(C_{1})\mathbb{P}(C_{2}) = 0.5 \times 0.9 = 0.45$`

.pull-left[

``` r
# lanzamos ambas monedas 100000 veces
coin1 <- rbinom(1000,1, prob = 0.5)
coin2 <- rbinom(1000,1, prob = 0.9)
data_coins <- tibble(coin1=coin1,coin2=coin2)

print(data_coins, n=7)
```

```
## # A tibble: 1,000 × 2
## coin1 coin2
## <int> <int>
## 1 1 1
## 2 1 1
## 3 1 1
## 4 1 1
## 5 0 1
## 6 0 0
## 7 1 1
## # ℹ 993 more rows
```
]

.pull-right[

``` r
# definimos evento exitoso: dos Caras
data_coins <- data_coins %>%
 mutate(cc = if_else(
 coin1==1 & coin2==1,
 "CC","Otro"))

#  probabilidad de obtener 2 Caras

knitr::kable(prop.table(
  table(data_coins$cc)),
  col.names = c("Resultado","Probabilidad"))
```

|Resultado | Probabilidad|
|:---------|------------:|
|CC        |        0.473|
|Otro      |        0.527|
]

---
class: inverse, center, middle

.huge[
**Hasta la próxima clase. Gracias!**
]

Mauricio Bucca 
https://mebucca.github.io/ 
github.com/mebucca