class: inverse, center, middle

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)
```

# Fundamentos de Probabilidades

---

## Experimentos aleatorios

 Un  .bold[experimento aleatorio] es un experimento - real o hipotético - en el que todos los posibles resultados son conocidos *a priori*.

<br>
--

Ejemplo:
- Experimento: Tirar un dado
- Posibles resultados: números enteros entre 1 y 6

<br>
--

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama "espacio muestral",  $\Omega$. 

En este caso: 

$$\Omega: \{1,2,3,4,5,6 \}$$

<br>
--

En palabras, $\Omega: \{1,2,3,4,5,6 \}$ significa que nuestro experimento, consistente en tirar un dado, puede resultar en: "1 o 2 o 3... o 6"

---

## Eventos

Un .bold[evento] es un subconjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento. 

<br>
--

Ejemplo:
- Experimento: Tirar un dado
- "A" es el evento de "obtener un 1 o un 5"  

<br>

--

Formalmente,

$$A :  \text{dado=1 o dado=5}$$

---

## Probabilidad 

Para cualquier .bold[*evento*] es posible asociar un número que cuantifique la .bold[probabilidad] de ocurrencia de tal evento. 

<br>
--

Continuando con nuestro ejemplo,

- Experimento: Tirar un dado
- Espacio muestral, $\Omega: \{1,2,3,4,5,6\}$
- A es el evento de "obtener un 1 o un 5"


¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A? 

<br>
--
Formalmente,  

$$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\text{dado=1 o dado=5})$$
<br>
donde $\mathbb{P}(.)$ refiere a la probabilidad de ocurrencia del evento y $\mathbb{P}(.) \in [0,1]$

---

## Probabilidad 

.bold[Ejercicio rápido]:

* Supuesto: el dado es "justo", es decir, todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia

--

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Preguntas]:

1) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada valor en el espacio muestral?

2) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del evento A (obtener un 1 o un 5)?
]
]

--
.bold[Respuestas:]

1) $\frac{1}{6}$ 

2) $\frac{2}{6}$ 

--

Detrás de estas respuestas hay una comprensión intuitiva de algunas propiedades importantes de la probabilidad.

---

### Reglas básicas de probabilidad

1) Las probabilidades están limitadas entre cero y uno. Si A es un evento, entonces:

$$0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1$$
<br>
--

2) La probabilidad de que dos eventos mutuamente excluyentes ocurran al mismo tiempo es cero. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

$$\mathbb{P}(A \text{ y }B) = 0$$
Por ejemplo, 
  - si $A:\text{dado=1 o dado=5}$ 
  - y $B:\text{dado=6}$
  
<br>
--
entonces $\mathbb{P}(A \text{ y } B) = 0$


---

### Reglas básicas de probabilidad

3) Si A y B son dos eventos la probabilidad de que *al menos* uno de los dos ocurra es llamada la "unión" de ambos eventos y viene dada por:

$$\mathbb{P}(A \text{ o } B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \text{ y } B)$$
<br>
--

Por ejemplo,    
  - si $A: \text{dado=1 o dado=5}$ 
  - y $B:\text{dado=5 o dado=6}$
  
entonces, 

$$\mathbb{P}(A \text{ o } B) = \mathbb{P}(\text{dado=1 o dado=5}) + \mathbb{P}(\text{dado=5 o dado=6}) - \mathbb{P}(\text{dado=5})$$
---

### Reglas básicas de probabilidad


.bold[Ejercicio rápido]:

- Experimento: tirar un dado
- Supuesto: el dado es "justo", es decir, todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia

<br>
--

.full-width[.content-box-primary[
.bolder[Pregunta]:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 o un 4?

]
]


--

.full-width[.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:
\begin{align}
\mathbb{P}(\text{dado=3 o dado=4}) &= \mathbb{P}(\text{dado=3}) +  \mathbb{P}(\text{dado=4}) - \mathbb{P}(\text{dado=3 y dado=4}) \\
&= \frac{1}{6} +  \frac{1}{6} - 0 = \frac{2}{6}
\end{align}
]
]

---

### Reglas básicas de probabilidad

4) De los puntos 2 y 3 se deduce que la probabilidad de la unión de dos eventos desunidos, A y B, viene dada por:

$$\mathbb{P}(A \text{ or } B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$$
---

### Reglas básicas de probabilidad

5) La probabilidad del espacio muestral es uno. 

<br>
--

Formalmente, si denotamos cada posible resultado de un experimento como $A_{i}$, entonces:

$$\mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(A_{1} \text{ o } A_{2} \dots \text{ o } A_{n})  = \sum_{i} \mathbb{P}(A_{i}) = 1$$
<br>
--

Por ejemplo
  - Experimento: tirar un dado justo

Entonces, 

\begin{align}
\mathbb{P}(\Omega) &= \mathbb{P}(\text{dado=1  o ... o dado=6})  \\ \\
 &= \mathbb{P}(\text{dado=1}) + \dots + \mathbb{P}(\text{dado=6}) \\ \\
 &= \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6} = 1
\end{align}

---

### Reglas básicas de probabilidad

6) Se sigue de (5) que si dos eventos A y B dividen el espacio muestral en dos particiones mutuamente excluyentes entonces sus probabilidades son complementarias. 

<br>
--

Formalmente,

$$\mathbb{P}(A) = 1 - \mathbb{P}(B)$$

<br>
--

Por ejemplo
  - Experimento: tirar un dado justo
  - $A: \text{dado < 3}$ 
  - $B:\text{dado} \geq 3$

Entonces, 

\begin{align}
\mathbb{P}(A) &= 1 - \mathbb{P}(B) \\
&= 1 - \frac{4}{6} \\
&= \frac{2}{6}
\end{align}


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##Hasta la próxima clase. Gracias!


<br>
Mauricio Bucca <br>
https://mebucca.github.io/ <br>
github.com/mebucca




