Ponderación: 5% de la nota final del curso.
Un jugador lanza dos monedas (no necesariamente justas) en cada ronda \(i\). Sea \(X_i\) el número de caras en el lanzamiento \(i\). La probabilidad de que una moneda muestre cara es \(p\), y las monedas son independientes.
La siguiente tabla muestra los resultados de 3 lanzamientos observados:
| Tirada | \(X_i\): número de caras |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
Solución
Cada lanzamiento corresponde a una distribución binomial con 2 intentos y probabilidad de éxito \(p\):
\[ P(X_i = k) = \binom{2}{k} p^k (1-p)^{2-k}, \quad k=0,1,2. \]
Es decir:
- \(P(X=0) = (1-p)^2\)
- \(P(X=1) = 2p(1-p)\)
- \(P(X=2) = p^2\)
El casino paga:
- \(X=2\): gana $2000.
- \(X=1\): gana $500.
- \(X=0\): pierde $1000.
Distribución de \(Y\):
- \(Y=2000\) con prob. \(p^2\)
- \(Y=500\) con prob. \(2p(1-p)\)
- \(Y=-1000\) con prob. \((1-p)^2\)
Solución
\[ \mathbb{E}[Y] = 2000 p^2 + 500 \cdot 2p(1-p) -1000(1-p)^2. \]
En los 3 lanzamientos se obtuvo:
- 1 vez el valor 0,
- 0 veces el valor 1,
- 2 veces el valor 2.
Paso 1. Probabilidades teóricas de cada valor:
- \(P(X=0) = (1-p)^2\)
- \(P(X=2) = p^2\)
Paso 2. Verosimilitud como producto de probabilidades individuales:
Los datos fueron \((0,2,2)\).
Dado que los lanzamientos son independientes:
\[
L(p) = P(X=0)\cdot P(X=2)\cdot P(X=2).
\]
Reemplazando:
\[
L(p) = (1-p)^2 \cdot (p^2) \cdot (p^2).
\]
Paso 3. Simplificar:
\[
L(p) = (1-p)^2 \cdot p^4.
\]
Paso 4. Pasar a logaritmos:
\[
\ell(p) = 2\ln(1-p) + 4\ln p.
\]
mydata <- data.frame(p = seq(0.01, 0.99, by=0.01)) %>%
mutate(logLik = 2*log(1-p) + 4*log(p))
ggplot(mydata, aes(x=p, y=logLik)) +
geom_line(color="#AA134e", linewidth=1.2) +
labs(x="Probabilidad de cara (p)", y="Log-likelihood",
title="Log-likelihood function de p (datos: 0,2,2)") +
theme_bw()
Solución
La curva alcanza su máximo alrededor de \(p \approx 0.67\).
Esto significa que, con los datos observados (un 0 y dos 2), el valor más plausible para la probabilidad de cara es aproximadamente 67%.