mydata <- data.frame(p = seq(0.01, 0.99, by=0.01)) %>%
mutate(logLik = `_agrega_aqui_tu_funcion_`)
ggplot(mydata, aes(x=p, y=logLik)) +
geom_line(color="#AA134e", linewidth=1.2) +
labs(x="Probabilidad de cara (p)", y="Log-likelihood",
title="Log-likelihood function de p (datos: 0,2,2)") +
theme_bw()SOL3070 Análisis de Datos Categóricos
Ponderación: 5% de la nota final del curso.
Un jugador lanza dos monedas (no necesariamente justas) en cada ronda \(i\). Sea \(X_i\) el número de caras en el lanzamiento \(i\). La probabilidad de que una moneda muestre cara es \(p\), y las monedas son independientes.
La siguiente tabla muestra los resultados de 3 lanzamientos observados:
| Tirada | \(X_i\): número de caras |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
Preguntas
1) Distribución de probabilidad de \(X_i\)
Explica por qué \(X_i\) sigue una distribución binomial, escribe explícitamente la función probabilidad de \(X_i\) y expresa las probabilidades de obtener \(X_i=0\), \(X_i=1\) y \(X_i=2\) en términos de \(p\).
2) Variable de ganancia \(Y\)
El casino paga de la siguiente manera:
- \(X=2\): gana $2000.
- \(X=1\): gana $500.
- \(X=0\): pierde $1000.
Define la variable de ganancia \(Y\) y escribe su distribución de probabilidad.
3) Valor esperado de \(Y\)
Usando la distribución encontrada en la pregunta anterior, calcula el valor esperado \(\mathbb{E}[Y]\).
4) Log-likelihood function de \(p\) con los datos observados
A partir de los datos observados (un 0 y dos 2), construye la función de verosimilitud \(L(p)\) mostrando el producto de probabilidades individuales, simplifícala, y luego transforma a log-verosimilitud \(\ell(p)\).
5) Graficar la log-likelihood
Escribe el código en R para graficar la log-likelihood \(\ell(p)\) en el rango \(p \in [0,1]\). Reemplaza \_agrega_aqui_tu_funcion_ con la expresión encontrada en la pregunta 4.
6) Estimación visual de \(p\)
Basándote en el gráfico anterior, estima visualmente el valor de \(\hat{p}\) que maximiza la log-likelihood e interpreta su significado en este contexto.