SOL3070 Análisis de Datos Categóricos

Ponderación:6% de la nota final del curso.

Problema 1: Simplifica: \(\ln(x) + \ln(y)\)

Solución: \(\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \times y)\)

Problema 2: Simplifica: \(\ln(b^3)\)

Solución: Usando la propiedad de potencias de logaritmos: \(\ln(b^3) = 3\ln(b)\)

Problema 3: Si \(2^y \times 2^{y-3} = 16\) encuentra ( y ).

Solución:

1. Combinando bases similares: \(2^y \times 2^{y-3} = 2^{2y-3}\)

2. Escribiendo 16 en términos de base 2: \(16 = 2^4\)

3. Igualando las potencias, tenemos: \(2y - 3 = 4\)

4. Resolviendo para y: \(2y = 7 \implies y = \frac{7}{2} = 3.5\)

Problema 4: Simplifica: \(e^{a}\times e^{-a}\)

Solución: Usando las propiedades de los exponentes: \(e^{a}\times e^{-a} = e^{a-a} = e^0 = 1\)

Problema 5: Simplifica: \(z = e^{\ln(w)}\)

Solución: Usando la propiedad de los logaritmos y exponentes como funciones inversas: \(z = w\)

Problema 6: Simplifica: \(\ln(d) - \ln(f)\)

Solución: Usando la propiedad de los logaritmos: \(\ln(d) - \ln(f) = \ln\left(\frac{d}{f}\right)\)

Problema 7: Resuelve por \(y\): \(e^{3y} = 10\)

Solución:

1. Tomando el logaritmo natural de ambos lados: \(3y = \ln(10)\)

2. Despejando \(y\): \(y = \frac{\ln(10)}{3}\)

Problema 8: Simplifica: \(\ln(p) + \ln(q) - \ln(r)\)

Solución: Usando las propiedades de los logaritmos: \(\ln(p) + \ln(q) - \ln(r) = \ln\left(\frac{p \times q}{r}\right)\)

Problema 9: Resuelve por \(x\): \(y = e^{3x+2}\)

Solución:

1. Dado que \(y = e^{3x+2}\), tomamos el logaritmo natural en ambos lados: \(\ln(y) = \ln(e^{3x+2})\)

2. Utilizando la propiedad del logaritmo \(\ln(e^a) = a\), obtenemos: \(\ln(y) = 3x + 2\)

3. Despejando \(x\) obtenemos:\(x = \frac{\ln(y) - 2}{3}\)

Problema 10: Determina la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) (dy/dx) en la siguiente ecuación: \(y = 4x^3 - 6x^2 + 5x - 8\)

Solución: Aplicando la regla de potencias: \(\text{dy/dx} = 12x^2 - 12x + 5\)

Problema 11: Encuentre la derivada de: \(y = x^6 - 3x^4 + 2x^3 - x + 1\)

Solución: Aplicando la regla de potencias: \(\text{dy/dx} = 6x^5 - 12x^3 + 6x^2 - 1\)

Problema 12: Dada la función: \(y = 4 + 3x^2\)

1. Grafica la función.

2. Identifica por inspección visual el valor de \(x\) en que la función alcanza su mínimo.

3. Determina el valor de la pendiente en ese punto.

Solución:

1. Para graficar la función utilizamos el paquete ggplot2 en R:

library(ggplot2)

# Crear una secuencia de valores para x
x_vals <- seq(-2, 2, 0.01)

# Calcular los valores correspondientes de y para cada x
y_vals <- 4 + 3*x_vals^2

# Crear un dataframe con x,y
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Graficar usando ggplot
ggplot(df, aes(x=x_vals, y=y_vals)) + 
  geom_line() +
  labs(title="y = 4 + 3x^2", x="x", y=" y") +
  theme_bw()

2. Al inspeccionar visualmente el gráfico se observa que la función alcanza su valor mínimo en \(x = 0\).

3. La derivada de \(y = 4 + 3x^2\) es: \(\text{dy/dx} = 6x\). Por tanto, evaluando cuando \(x = 0\) obtenemos \(6(0) = 0\). Por tanto, cuando la función alcanza su máximo la pendienten de la curva es cero.

4. La derivada de una función representa la tasa de cambio de \(y\) con respecto a \(x\): \(\text{dy/dx}\). Conceptualmente indica cómo cambia \(y\) cuando hacemos un pequeño cambio en \(x\). Para la función \(y = 4 + 3x^2\), la derivada \(\text{dy/dx} = 6x\) nos dice que la pendiente de la curva cambia linealmente con \(x\). En \(x = 0\), la pendiente es cero, lo que indica que la función no cambia en ese punto. Una derivada positiva indica que la función está aumentando en ese intervalo, mientras que una derivada negativa indica que la función está disminuyendo.