```{r setup}
#| include: false
library(tidyverse)
theme_set(theme_minimal(base_size = 13))
palette_curso <- c("#2C7FB8", "#D95F02", "#1B9E77", "#7570B3", "#E6AB02")

circle_df <- function(cx, cy, r, n = 100) {
  theta <- seq(0, 2 * pi, length.out = n)
  tibble(x = cx + r * cos(theta), y = cy + r * sin(theta))
}
```

Este documento reúne la nivelación matemática necesaria para comenzar el curso. Está diseñado para leerse **en orden, de principio a fin**: cada sección usa solamente conceptos definidos en las secciones anteriores.

La ruta es la siguiente:

1. **Pre-cálculo:** funciones, exponenciales, logaritmos y sumatorias.
2. **Cálculo:** límites, derivadas de una variable, derivadas parciales, gradiente e integrales.
3. **Probabilidad:** experimentos aleatorios, eventos, reglas básicas, probabilidad condicional, Bayes, probabilidad total, independencia y simulación.

La meta no es reemplazar un curso completo de matemáticas, sino desarrollar con detalle el vocabulario, la notación y los procedimientos que se utilizarán después. Todos los conceptos necesarios para resolver los ejemplos se introducen antes de usarlos.

## 1. Pre-cálculo

### Funciones

Una función $f$ de un conjunto $D$ (el **dominio**) a un conjunto $Y$ (el **codominio**) es una regla que asigna un único elemento $f(x) \in Y$ a cada elemento $x \in D$:

$$f: D \to Y, \qquad x \mapsto f(x) \qquad (\text{``}y = f(x)\text{''})$$

El conjunto de todos los valores que efectivamente toma $f(x)$ se llama **recorrido** (o rango) de la función, y puede ser un subconjunto propio del codominio.

Intuitivamente, una función es una máquina: entra $x$, sale $f(x)$, y cada entrada produce siempre la misma salida (aunque dos entradas distintas puedan compartir la misma salida).

```{r fn-maquina}
#| fig-cap: "Una función como máquina: entra x, sale f(x)"
#| fig-height: 2.2
ggplot() +
  annotate("segment", x = 0, xend = 1.9, y = 1, yend = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm")), linewidth = 1) +
  annotate("rect", xmin = 2, xmax = 4, ymin = 0.5, ymax = 1.5,
           fill = palette_curso[1], alpha = 0.15, color = palette_curso[1], linewidth = 1) +
  annotate("text", x = 3, y = 1, label = "f", size = 8, fontface = "bold", color = palette_curso[1]) +
  annotate("segment", x = 4.1, xend = 6, y = 1, yend = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm")), linewidth = 1) +
  annotate("text", x = 1, y = 1.35, label = "x  (entrada, dominio)") +
  annotate("text", x = 5, y = 1.35, label = "f(x)  (salida, recorrido)") +
  xlim(-0.2, 6.2) + ylim(0.2, 1.8) +
  theme_void()
```

Cuando una función se define con una fórmula y no se restringe el dominio explícitamente, se asume el **dominio natural**: el conjunto más grande de valores de $x$ para los que la fórmula produce un número real. Para encontrarlo, la pregunta siempre es la misma: *¿qué valores de $x$ "rompen" la fórmula?* Hay dos culpables habituales:

- **Dividir por cero**: si $x$ aparece en un denominador, hay que excluir el valor que lo anula.
- **Raíz de un número negativo**: si $x$ aparece bajo una raíz par ($\sqrt{\ }$), lo de adentro no puede ser negativo.

Dos ejemplos paso a paso:

**$y = 1/x$.** El único problema es dividir por cero. Preguntamos: ¿para qué $x$ se anula el denominador? Para $x=0$. Excluimos ese único punto: dominio $= (-\infty,0)\cup(0,\infty)$. El recorrido se razona igual pero al revés: ¿qué valores de $y$ *nunca* se alcanzan? Como $1/x$ nunca da exactamente $0$ (no existe $x$ tal que $1/x=0$), el recorrido excluye el $0$: $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$.

**$y = \sqrt{4-x}$.** El problema es la raíz: necesitamos que lo de adentro sea $\ge 0$, es decir $4-x \ge 0$, o sea $x \le 4$. Dominio $= (-\infty,4]$. El recorrido: una raíz cuadrada nunca es negativa, así que el recorrido es $[0,\infty)$.

Con la misma lógica se arman los otros tres casos:

| Función | Dominio | Recorrido | Razón del dominio |
|---|---|---|---|
| $y = x^2$ | $(-\infty,\infty)$ | $[0,\infty)$ | ningún valor de $x$ rompe la fórmula |
| $y = 1/x$ | $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ | $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ | excluir $x=0$ (división por cero) |
| $y = \sqrt{x}$ | $[0,\infty)$ | $[0,\infty)$ | necesita $x \ge 0$ (raíz par) |
| $y = \sqrt{4-x}$ | $(-\infty,4]$ | $[0,\infty)$ | necesita $4-x \ge 0$ |
| $y = \sqrt{1-x^2}$ | $[-1,1]$ | $[0,1]$ | necesita $1-x^2 \ge 0$, es decir $-1\le x\le 1$ |

::: {.callout-tip}
**Ejercicio resuelto.** Encontrar el dominio de $g(x) = \sqrt{x^2-3x}$.

1. Es una raíz par $\Rightarrow$ necesitamos $x^2-3x \ge 0$.
2. Factorizamos: $x(x-3) \ge 0$.
3. Un producto de dos términos es $\ge 0$ cuando ambos son positivos o ambos son negativos: eso pasa cuando $x \le 0$ **o** $x \ge 3$.
4. Dominio: $(-\infty,0] \cup [3,\infty)$.
:::

Ejemplo de evaluación directa: $f(x) = 2x + 1$, evaluada en $x=2$ da $f(2) = 2(2)+1 = 5$.

```{r fn-lineal}
#| fig-cap: "f(x) = 2x + 1"
x_values <- seq(-5, 5, 0.1)
tibble(x = x_values, y = 2 * x_values + 1) %>%
  ggplot(aes(x, y)) +
  geom_line(color = palette_curso[1], linewidth = 1.3) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

**Funciones comunes.** Muchas de las funciones que aparecen en los ejemplos siguientes son casos particulares de unas pocas familias:

- **Lineal**: $f(x) = mx + b$.
- **Cuadrática / cúbica** (casos de **potencia**, $f(x) = x^n$): capturan curvatura y asimetría.
- **Polinomios**: sumas de potencias, $p(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$.
- **Racionales**: cocientes de polinomios, $f(x) = p(x)/q(x)$.

```{r fn-comunes}
#| fig-cap: "Funciones potencia: lineal, cuadrática y cúbica"
x_values <- seq(-2, 2, length.out = 200)
tibble(x = x_values, Lineal = x_values, `Cuadrática` = x_values^2, `Cúbica` = x_values^3) %>%
  pivot_longer(-x, names_to = "función", values_to = "y") %>%
  ggplot(aes(x, y, color = función)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = palette_curso[1:3]) +
  coord_cartesian(ylim = c(-4, 4)) +
  labs(x = "x", y = "f(x)", color = NULL)
```

Nótese la simetría: las funciones con potencia **par** ($x^2$) son simétricas respecto al eje $y$; las de potencia **impar** ($x^3$) son simétricas respecto al origen.

### Funciones exponenciales

Una función de la forma $f(x) = a^x$, con base constante $a > 0$, $a \neq 1$, es una **función exponencial**. Su dominio es siempre $(-\infty,\infty)$ y su recorrido $(0,\infty)$ — una exponencial nunca vale cero ni es negativa.

::: {.callout-warning}
No confundir $2^x$ (exponencial, $x$ en el exponente) con $x^2$ (potencia, $x$ en la base).
:::

Reglas de exponentes (válidas para $a,b>0$ y cualquier real $x,y$):

| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Producto | $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ |
| Cociente | $a^x / a^y = a^{x-y}$ |
| Potencia de potencia | $(a^x)^y = a^{xy}$ |
| Producto de bases | $a^x \cdot b^x = (ab)^x$ |
| Cociente de bases | $a^x / b^x = (a/b)^x$ |

```{r fn-exponenciales}
#| fig-cap: "Funciones exponenciales con distintas bases"
x_values <- seq(-3, 3, length.out = 200)
tibble(x = x_values, `2^x` = 2^x_values, `e^x` = exp(x_values), `3^x` = 3^x_values) %>%
  pivot_longer(-x, names_to = "base", values_to = "y") %>%
  filter(y < 25) %>%
  ggplot(aes(x, y, color = base)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = palette_curso[1:3]) +
  labs(x = "x", y = "f(x)", color = NULL)
```

Una base especialmente importante es el número

$$e \approx 2.718281828.$$

En este material basta entenderlo como una constante, igual que $\pi$: se puede elevar a cualquier potencia y define la función $\exp(x)=e^x$. Su utilidad aparece naturalmente en procesos cuyo cambio es continuo, como el interés compuesto continuamente.

**Crecimiento exponencial, paso a paso.** ¿De dónde sale la fórmula $y=y_0e^{kx}$? Pensemos en $\$100$ invertidos al 5.5% de interés anual, compuesto una vez al año.

1. Al final del año 1: el monto es el capital más el interés, $100 + 0.055\times 100 = 100(1.055)$.
2. Al final del año 2: se vuelve a aplicar el 5.5% sobre el nuevo monto: $100(1.055)\times 1.055 = 100(1.055)^2$.
3. Repitiendo el proceso $x$ veces, después de $x$ años el monto es $A = 100(1.055)^x$ — una función exponencial con base $1.055$.

```{r fn-interes}
#| fig-cap: "Crecimiento de $100 al 5.5% anual, compuesto anualmente"
anios <- 0:10
tibble(anio = anios, monto = 100 * 1.055^anios)
```

Si el interés se compone **continuamente** en vez de una vez al año, el mismo razonamiento (llevado al límite) da la versión con $e$: $A = P e^{rt}$, con $P$ el capital inicial, $r$ la tasa anual y $t$ los años transcurridos. Es la misma idea de "crecimiento proporcional al monto actual", solo que la capitalización es instantánea en vez de anual.

Más en general, la familia $y = y_0 e^{kx}$ modela crecimiento cuando $k>0$ y decaimiento cuando $k<0$ — el signo de $k$ es lo único que distingue crecer de decaer. Un ejemplo de decaimiento: el carbono-14 se modela como $y = y_0 e^{-rt}$ ($r>0$), usado para datar restos orgánicos — cada año que pasa queda una fracción constante del carbono-14 del año anterior, igual que cada año de interés multiplica el capital por un factor constante.

### Funciones logarítmicas

Toda función exponencial $f(x) = a^x$ es **uno-a-uno** (entradas distintas dan salidas distintas), por lo que tiene una función inversa: el **logaritmo en base $a$**, $y = \log_a x$, definido por

$$\log_a x = y \iff a^y = x.$$

El dominio de $\log_a x$ es $(0,\infty)$ (el recorrido de $a^x$); su recorrido es $(-\infty,\infty)$ (el dominio de $a^x$).

El caso más importante es la base $e$: el **logaritmo natural**, $\ln x = \log_e x$, que satisface

$$\ln x = y \iff e^y = x, \qquad \ln e = 1.$$

```{r fn-logaritmo}
#| fig-cap: "e^x y ln(x) son funciones inversas: sus gráficos son simétricos respecto a la recta y = x"
x_exp <- seq(-2, 2.5, length.out = 300)
x_log <- seq(0.05, 12, length.out = 300)

ggplot() +
  geom_line(data = tibble(x = x_exp, y = exp(x_exp)), aes(x, y, color = "e^x"), linewidth = 1.2) +
  geom_line(data = tibble(x = x_log, y = log(x_log)), aes(x, y, color = "ln(x)"), linewidth = 1.2) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey60") +
  scale_color_manual(values = c("e^x" = palette_curso[1], "ln(x)" = palette_curso[2])) +
  coord_cartesian(xlim = c(-2, 6), ylim = c(-2, 6)) +
  labs(x = "x", y = "f(x)", color = NULL)
```

Propiedades algebraicas (para $b, x > 0$):

| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Producto | $\ln(bx) = \ln b + \ln x$ |
| Cociente | $\ln(b/x) = \ln b - \ln x$ |
| Recíproco | $\ln(1/x) = -\ln x$ |
| Potencia | $\ln(x^r) = r\ln x$ |
| Inversa (base $a$) | $a^{\log_a x} = x, \quad \log_a(a^x) = x$ |
| Inversa (base $e$) | $e^{\ln x} = x, \quad \ln(e^x) = x$ |
| Cambio de base | $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ |

**¿Para qué sirve, en la práctica?** El logaritmo es la herramienta para "bajar" una $x$ que está atrapada en un exponente. Ejemplo: ¿cuánto hay que esperar para que $\$100$ invertidos al 5.5% anual se dupliquen? Necesitamos resolver $100(1.055)^x = 200$ para $x$.

1. Simplificamos: $(1.055)^x = 2$.
2. Aplicamos $\ln$ a ambos lados (si dos números son iguales, sus logaritmos también lo son): $\ln\big((1.055)^x\big) = \ln 2$.
3. Usamos la regla de la potencia, $\ln(x^r) = r\ln x$, para bajar el exponente: $x \cdot \ln(1.055) = \ln 2$.
4. Despejamos: $x = \dfrac{\ln 2}{\ln(1.055)}$.

```{r log-despejar}
log(2) / log(1.055)
```

Es decir, la inversión tarda unos 13 años en duplicarse. Este patrón — "aplicar $\ln$, bajar el exponente con la regla de la potencia, despejar" — es el mismo que se usa para resolver cualquier ecuación donde la incógnita está en el exponente.

Dos consecuencias inmediatas de las reglas anteriores:

- El logaritmo permite **despejar exponentes**, como en el ejemplo de la inversión.
- El logaritmo convierte productos en sumas. Por ejemplo,
  $\ln(2\cdot3\cdot5)=\ln 2+\ln 3+\ln 5$. Esto puede simplificar cálculos con muchos factores positivos.

### Sumatorias

La sumatoria $\Sigma$ es notación para sumar una secuencia de términos:

$$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

donde $i$ es el índice y $n$ el límite superior (cuántos términos sumar).

```{r sumatoria-esquema}
#| fig-cap: "Σ acumula cada término, uno tras otro"
tibble(i = factor(1:5), termino = 1:5) %>%
  ggplot(aes(i, termino)) +
  geom_col(fill = palette_curso[1], width = 0.6) +
  geom_text(aes(label = termino), vjust = -0.4) +
  labs(x = "i", y = expression(a[i])) +
  theme(panel.grid.minor = element_blank())
```

Dos propiedades útiles:

$$\sum_{i=1}^{n} c = c \cdot n \qquad \text{(suma de una constante)}$$

Por ejemplo, $\sum_{i=1}^{5} 1 = 1+1+1+1+1 = 5$: sumar la constante $1$ cinco veces es lo mismo que $1 \times 5$.

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \text{(suma de los primeros } n \text{ naturales)}$$

Verifiquemos la fórmula con $n=5$, expandiendo la suma término a término y comparando con la fórmula:

```{r sumatoria-verificacion}
n <- 5
suma_expandida <- 1 + 2 + 3 + 4 + 5
suma_formula <- n * (n + 1) / 2
c(expandida = suma_expandida, formula = suma_formula)
```

Ambas dan 15 — la fórmula no es magia, es solo un atajo para no tener que escribir todos los términos cuando $n$ es grande.

**Aplicación.** Ventas diarias de una empresa durante una semana:

| Día | Ventas |
|---|---|
| Lunes | 1500 |
| Martes | 1200 |
| Miércoles | 1800 |
| Jueves | 1300 |
| Viernes | 1400 |
| Sábado | 2000 |
| Domingo | 1700 |

```{r sumatoria-ventas}
ventas_diarias <- c(1500, 1200, 1800, 1300, 1400, 2000, 1700)
sum(ventas_diarias)
```

El total semanal es, literalmente, $\sum_{i=1}^{7} \text{ventas}_i$.

## 2. Cálculo

### Límites

Un **límite** describe el valor al que se acerca una función cuando su entrada se aproxima a un punto. La notación

$$\lim_{x\to a} f(x)=L$$

se lee: “el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$”. Significa que podemos hacer que $f(x)$ quede tan cerca de $L$ como queramos tomando valores de $x$ suficientemente cercanos a $a$.

Por ejemplo, si $f(x)=2x+1$, entonces

$$\lim_{x\to 3}(2x+1)=7,$$

porque al acercar $x$ a $3$, el valor $2x+1$ se acerca a $7$:

| $x$ | $2x+1$ |
|---:|---:|
| 2.9 | 6.8 |
| 2.99 | 6.98 |
| 3.01 | 7.02 |
| 3.1 | 7.2 |

En este ejemplo también se puede evaluar directamente $f(3)=7$. Sin embargo, el límite se refiere a lo que ocurre **cerca** del punto, no necesariamente en el punto. Por ejemplo,

$$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

no está definida en $x=1$, porque allí se divide por cero. Para $x\neq1$ podemos factorizar $x^2-1=(x-1)(x+1)$ y simplificar:

$$g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

Por eso, aunque $g(1)$ no exista,

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$

Esta idea permite definir una pendiente en un solo punto: calculamos pendientes entre dos puntos y hacemos que la distancia entre ellos tienda a cero.

### Derivadas de una variable

La derivada de $f$ en un punto $x_0$ mide **cuánto y en qué dirección** cambia $f$ ante un cambio infinitesimal de $x$: es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Antes de la fórmula, recordemos qué es una pendiente: cuánto sube (o baja) una recta por cada unidad que avanza hacia la derecha.

$$\text{pendiente} = \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

```{r deriv-pendiente-esquema}
#| fig-cap: "Pendiente = Δy / Δx"
ggplot() +
  geom_segment(aes(x = 1, xend = 4, y = 1, yend = 3), color = palette_curso[1], linewidth = 1.3) +
  geom_segment(aes(x = 1, xend = 4, y = 1, yend = 1), linetype = "dashed", color = "grey50") +
  geom_segment(aes(x = 4, xend = 4, y = 1, yend = 3), linetype = "dashed", color = "grey50") +
  geom_point(data = tibble(x = c(1, 4), y = c(1, 3)), aes(x, y), size = 3) +
  annotate("text", x = 2.5, y = 0.75, label = "Δx") +
  annotate("text", x = 4.25, y = 2, label = "Δy", hjust = 0) +
  coord_equal(xlim = c(0.5, 5), ylim = c(0.5, 3.5)) +
  theme_void()
```

El problema es que esta idea de pendiente solo tiene sentido entre **dos** puntos distintos — necesitamos "estirar" el mismo cálculo hasta un único punto. Ahí es donde entra el límite:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

El cociente $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ es la pendiente de la recta que une los puntos $(x_0, f(x_0))$ y $(x_0+h, f(x_0+h))$ — una **secante**. La derivada es lo que le pasa a esa pendiente cuando $h$ se hace cada vez más chico, es decir, cuando el segundo punto se acerca al primero hasta casi tocarlo: la secante se convierte en tangente.

```{r deriv-secante-esquema}
#| fig-cap: "A medida que h se achica, la secante se acerca a la tangente"
f <- function(x) x^2
x0 <- 1
hs <- c(1.4, 0.8, 0.3)

secantes <- map_dfr(hs, function(h) {
  x1 <- x0 + h
  pendiente <- (f(x1) - f(x0)) / h
  tibble(h = paste0("h = ", h), x = c(x0 - 0.3, x1 + 0.3),
         y = f(x0) + pendiente * (c(x0 - 0.3, x1 + 0.3) - x0))
})

curva <- tibble(x = seq(-0.3, 3, 0.05), y = f(x))
tangente_real <- tibble(x = c(0.4, 2.2), y = f(x0) + 2 * x0 * (c(0.4, 2.2) - x0))

ggplot() +
  geom_line(data = curva, aes(x, y), color = "grey40", linewidth = 1) +
  geom_line(data = secantes, aes(x, y, color = h, group = h), linewidth = 1) +
  geom_line(data = tangente_real, aes(x, y), color = "black", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_point(aes(x = x0, y = f(x0)), size = 3) +
  scale_color_manual(values = palette_curso[c(4, 2, 1)], name = NULL) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

La línea negra punteada es la tangente verdadera en $x_0=1$ (pendiente $2$); las secantes de colores, con $h$ cada vez más chico, se le acercan.

**De dónde sale la regla de la potencia, paso a paso.** Apliquemos la definición a $f(x) = x^2$:

1. $f(x_0+h) = (x_0+h)^2 = x_0^2 + 2x_0h + h^2$.
2. $f(x_0+h) - f(x_0) = (x_0^2 + 2x_0h + h^2) - x_0^2 = 2x_0h + h^2$.
3. Dividimos por $h$: $\dfrac{2x_0h+h^2}{h} = 2x_0 + h$.
4. Tomamos el límite cuando $h\to 0$: $2x_0 + h \to 2x_0$.

Es decir, $f'(x_0) = 2x_0$ — exactamente lo que predice la regla de la potencia, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$, con $n=2$. La regla general se obtiene repitiendo este mismo álgebra para cualquier $n$.

```{r deriv-tangente}
#| fig-cap: "f(x) = x², tangente en x = 2 (pendiente f'(2) = 4)"
f_x <- function(x) x^2
f_prime <- function(x) 2 * x
x0 <- 2
pendiente <- f_prime(x0)
y0 <- f_x(x0)
tangente <- function(x) pendiente * (x - x0) + y0

x_values <- seq(-1, 4, 0.05)
tibble(x = x_values, f = f_x(x_values), t = tangente(x_values)) %>%
  ggplot(aes(x)) +
  geom_line(aes(y = f), color = palette_curso[1], linewidth = 1.3) +
  geom_line(aes(y = t), color = palette_curso[2], linewidth = 1.1, linetype = "dashed") +
  geom_point(aes(x = x0, y = y0), size = 3) +
  coord_cartesian(ylim = c(-2, 12)) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

Reglas básicas:

| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Constante | $\dfrac{d}{dx}c=0$ |
| Potencia | $\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$ |
| Exponencial | $\dfrac{d}{dx} e^x = e^x$ |
| Logaritmo | $\dfrac{d}{dx} \ln x = \dfrac{1}{x}$ |
| Múltiplo constante | $\dfrac{d}{dx}\big(cg(x)\big)=c\,g'(x)$ |
| Suma | $\dfrac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big) = g'(x) + h'(x)$ |
| Producto | $\dfrac{d}{dx}\big(g(x)h(x)\big)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$ |
| Cociente | $\dfrac{d}{dx}\dfrac{g(x)}{h(x)}=\dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ |
| Regla de la cadena | $\dfrac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ |

Aquí $c$ representa una constante y, en la regla del cociente, se requiere $h(x)\neq0$.

**Regla de la cadena, paso a paso.** Sirve para derivar una función compuesta: una función "de afuera" aplicada a una función "de adentro". Ejemplo: derivar $h(x) = (3x+1)^2$.

1. Identificamos las dos capas: la de afuera es "elevar al cuadrado", $f(u) = u^2$; la de adentro es $g(x) = 3x+1$. Entonces $h(x) = f(g(x))$.
2. Derivamos la de afuera *dejando la de adentro intacta*: $f'(u) = 2u \;\Rightarrow\; f'(g(x)) = 2(3x+1)$.
3. Derivamos la de adentro: $g'(x) = 3$.
4. Multiplicamos: $h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) = 2(3x+1)\cdot 3 = 6(3x+1) = 18x+6$.

La idea esencial es siempre la misma: derivar la capa exterior, conservar la capa interior en su lugar y multiplicar por la derivada de la capa interior.

Ejemplo de la regla de la suma: si $f(x) = 2x^2 + 3x^3$, entonces $f'(x) = 4x + 9x^2$ (se deriva cada término por separado y se suman los resultados).

```{r deriv-suma}
#| fig-cap: "Regla de la suma: f(x) = g(x) + h(x) ⟹ f'(x) = g'(x) + h'(x)"
f <- function(x) 2 * x^2 + 3 * x^3
f_prime <- function(x) 4 * x + 9 * x^2
x_values <- seq(-3, 3, 0.05)

tibble(x = x_values, fx = f(x_values), dfx = f_prime(x_values)) %>%
  pivot_longer(-x, names_to = "curva", values_to = "y") %>%
  mutate(curva = recode(curva, fx = "f(x) = 2x² + 3x³", dfx = "f'(x) = 4x + 9x²")) %>%
  ggplot(aes(x, y, color = curva)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = palette_curso[1:2]) +
  coord_cartesian(ylim = c(-50, 50)) +
  labs(x = "x", y = NULL, color = NULL)
```

**Aplicación.** Si la población de un país en el año $t$ es $P(t) = 500 + 20t^2$, su tasa de cambio es $P'(t) = 40t$:

```{r deriv-poblacion}
P_prime <- function(t) 40 * t
P_prime(10)
```

En $t=10$, la población crece a razón de 400 personas por año.

**Puntos críticos.** Si una función derivable tiene un máximo o un mínimo en un punto interior $x^*$, la tangente allí es horizontal:

$$f'(x^*)=0.$$

La condición es necesaria, pero no suficiente: que $f'(x^*)=0$ identifica un **punto crítico**, que luego hay que examinar para decidir si es un máximo, un mínimo o ninguno de los dos. Por ejemplo, $f(x)=x^3$ tiene $f'(0)=0$, pero sigue creciendo a ambos lados de $0$.

```{r deriv-maximo}
#| fig-cap: "Máximo de f: la tangente es horizontal"
f <- function(x) -(x - 1)^2 + 4
x_values <- seq(-2, 4, length.out = 200)
tibble(x = x_values, y = f(x_values)) %>%
  ggplot(aes(x, y)) +
  geom_line(color = palette_curso[1], linewidth = 1.2) +
  geom_hline(yintercept = 4, linetype = "dashed", color = "grey60") +
  geom_point(aes(x = 1, y = 4), color = palette_curso[2], size = 3) +
  annotate("text", x = 1.5, y = 4.3, label = "f'(x*) = 0") +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

Esta observación permite resolver problemas de **optimización**, es decir, problemas en los que se busca el valor de $x$ que hace a una función lo más grande o lo más pequeña posible: se encuentran sus puntos críticos y luego se comparan sus valores y su comportamiento.

### Derivadas parciales

Hasta ahora estudiamos funciones con una entrada, $y=f(x)$. Una función de **dos variables** recibe dos entradas y produce una salida:

$$z=f(x,y).$$

Por ejemplo,

$$f(x,y)=x^2+2y^2$$

asigna un número a cada par $(x,y)$. En el punto $(1,1)$, su valor es

$$f(1,1)=1^2+2(1)^2=3.$$

Como hay dos entradas que pueden cambiar, hay dos preguntas distintas:

- ¿Cómo cambia $f$ si cambia $x$ y mantenemos $y$ fija?
- ¿Cómo cambia $f$ si cambia $y$ y mantenemos $x$ fija?

Cada respuesta es una **derivada parcial**. Su definición usa el mismo límite que una derivada ordinaria, pero mantiene fija la otra variable:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
=
\lim_{h\to0}
\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)
=
\lim_{h\to0}
\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
$$

Calculemos ambas para $f(x,y)=x^2+2y^2$.

1. **Respecto a $x$:** tratamos $y$ como una constante. La derivada de $x^2$ es $2x$ y la de $2y^2$ respecto a $x$ es $0$:

   $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.$$

2. **Respecto a $y$:** ahora tratamos $x$ como una constante. La derivada de $x^2$ respecto a $y$ es $0$ y la de $2y^2$ es $4y$:

   $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4y.$$

3. En $(1,1)$:

   $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2,
   \qquad
   \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=4.$$

La primera pendiente se ve al cortar la superficie fijando $y=1$; la segunda, al fijar $x=1$. Los dos paneles siguientes representan **la misma función y el mismo punto** del ejemplo:

```{r derivadas-parciales-plot}
#| fig-cap: "Derivadas parciales de f(x,y) = x² + 2y² en (1,1): cada panel fija una variable y cambia la otra"
f_dos <- function(x, y) x^2 + 2 * y^2
u <- seq(-1, 3, length.out = 300)

cortes <- bind_rows(
  tibble(
    variable = "Variar x; fijar y = 1",
    u = u,
    z = f_dos(u, 1),
    tangente = 3 + 2 * (u - 1)
  ),
  tibble(
    variable = "Variar y; fijar x = 1",
    u = u,
    z = f_dos(1, u),
    tangente = 3 + 4 * (u - 1)
  )
)

puntos_corte <- tibble(
  variable = c("Variar x; fijar y = 1", "Variar y; fijar x = 1"),
  u = 1,
  z = 3
)

ggplot(cortes, aes(u, z)) +
  geom_line(color = palette_curso[1], linewidth = 1.2) +
  geom_line(aes(y = tangente), color = palette_curso[2],
            linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  geom_point(data = puntos_corte, size = 3) +
  facet_wrap(~variable) +
  coord_cartesian(ylim = c(0, 18)) +
  labs(x = "Variable que cambia", y = "f(x,y)")
```

En ambos paneles, la curva azul es el corte de $f(x,y)=x^2+2y^2$ y la recta naranja es la tangente en $(1,1)$. La pendiente es $2$ cuando cambia $x$ y $4$ cuando cambia $y$. Por eso, cerca de ese punto, un cambio pequeño en $y$ produce aproximadamente el doble de cambio en $f$ que un cambio del mismo tamaño en $x$.

### Gradiente

El **gradiente** reúne todas las derivadas parciales en un vector, es decir, en una lista ordenada de números. Para una función de dos variables,

$$
\nabla f(x,y)
=
\left(
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
\right).
$$

Continuemos con la misma función:

$$f(x,y)=x^2+2y^2.$$

Como ya calculamos sus dos derivadas parciales,

$$\nabla f(x,y)=(2x,4y).$$

En el punto $(1,1)$,

$$\nabla f(1,1)=(2,4).$$

El primer componente, $2$, describe el cambio en la dirección de $x$; el segundo, $4$, describe el cambio en la dirección de $y$. Juntos forman una flecha que apunta en la dirección en la que $f$ aumenta más rápidamente.

```{r gradiente-plot}
#| fig-cap: "La misma función f(x,y) = x² + 2y²: el gradiente ∇f(1,1) = (2,4) apunta hacia el crecimiento más rápido"
grid <- expand_grid(x = seq(-3, 3, 0.12), y = seq(-3, 3, 0.12)) %>%
  mutate(z = x^2 + 2 * y^2)
punto <- tibble(x = 1, y = 1)

ggplot(grid, aes(x, y, z = z)) +
  geom_contour_filled(alpha = 0.75, bins = 10, show.legend = FALSE) +
  geom_point(data = punto, aes(x, y), inherit.aes = FALSE,
             size = 3, color = "white") +
  geom_segment(
    data = punto,
    aes(x = x, y = y, xend = x + 2 * 0.18, yend = y + 4 * 0.18),
    inherit.aes = FALSE,
    arrow = arrow(length = unit(0.25, "cm")),
    color = "white",
    linewidth = 1.1
  ) +
  coord_equal() +
  labs(x = "x", y = "y")
```

Las curvas de color unen puntos donde $f$ tiene el mismo valor. La flecha blanca parte de $(1,1)$ y tiene la dirección de $(2,4)$; cruza esas curvas hacia valores cada vez mayores.

Para **reducir** una función, se avanza en la dirección contraria al gradiente. Este procedimiento se llama **descenso de gradiente**. Con un tamaño de paso $\alpha>0$, la actualización es

$$
(x_{\text{nuevo}},y_{\text{nuevo}})
=
(x,y)-\alpha\nabla f(x,y),
$$

donde la resta se hace componente a componente. Desde $(1,1)$, con $\alpha=0.1$:

$$
(x_{\text{nuevo}},y_{\text{nuevo}})
=(1,1)-0.1(2,4)
=(0.8,0.6).
$$

En efecto, $f(1,1)=3$ y $f(0.8,0.6)=0.8^2+2(0.6)^2=1.36$: el valor disminuyó.

### Integrales

Así como la derivada mide una pendiente, la integral mide un **área acumulada** bajo la curva de $f$ entre $a$ y $b$:

$$\int_a^b f(x)\, dx = \text{área bajo } f \text{ entre } a \text{ y } b$$

**De dónde sale la idea, intuitivamente.** Para aproximar el área bajo $f$ entre $a$ y $b$, se puede dividir el intervalo en $n$ rectángulos angostos de ancho $\Delta x$, con altura $f(x_i)$ en cada uno, y sumarlos — exactamente la sumatoria $\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x$ que vimos en Pre-cálculo.

```{r int-riemann-esquema}
#| fig-cap: "Aproximando el área bajo f(x) = 2x con rectángulos (suma de Riemann)"
f <- function(x) 2 * x
a <- 1; b <- 3; n <- 6
xs <- seq(a, b, length.out = n + 1)
rects <- tibble(xmin = xs[-length(xs)], xmax = xs[-1], ymin = 0, ymax = f(xs[-length(xs)]))
curva <- tibble(x = seq(a - 0.2, b + 0.2, 0.02), y = f(x))

ggplot() +
  geom_rect(data = rects, aes(xmin = xmin, xmax = xmax, ymin = ymin, ymax = ymax),
            fill = palette_curso[1], alpha = 0.4, color = "white") +
  geom_line(data = curva, aes(x, y), color = palette_curso[2], linewidth = 1.2) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

A medida que los rectángulos se hacen más angostos ($\Delta x \to 0$, $n\to\infty$), esa suma se acerca cada vez más al área real bajo la curva. La integral $\int_a^b f(x)\,dx$ es, literalmente, el límite de esa sumatoria. Por suerte, el Teorema Fundamental del Cálculo (más abajo) nos evita tener que sumar infinitos rectángulos a mano.

Propiedades:

$$\int c \cdot f(x)\, dx = c \int f(x)\, dx \qquad \text{(linealidad)}$$
$$\int \big(f(x)+g(x)\big)\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx \qquad \text{(aditividad)}$$
$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx \qquad \text{(invertir el intervalo)}$$

Ejemplo: el área bajo $f(x) = 2x$ entre $x=1$ y $x=3$ es $\int_1^3 2x\, dx = \big[x^2\big]_1^3 = 9 - 1 = 8$.

```{r int-basica}
#| fig-cap: "∫₁³ 2x dx = 8: área bajo f(x) = 2x entre x = 1 y x = 3"
x_values <- seq(0, 3.5, 0.02)
ggplot(tibble(x = x_values, y = 2 * x_values), aes(x, y)) +
  geom_line(color = palette_curso[1], linewidth = 1.2) +
  geom_ribbon(data = tibble(x = seq(1, 3, 0.02)) %>% mutate(y = 2 * x),
              aes(x, ymin = 0, ymax = y), fill = palette_curso[1], alpha = 0.3) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

**Teorema Fundamental del Cálculo.** Conecta derivación e integración:

1. Si $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$, entonces $F'(x) = f(x)$.
2. Si $F$ es una antiderivada de $f$, entonces $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$.

La segunda parte es la que usamos en la práctica: encontrar una antiderivada y evaluarla en los extremos.

**Ejemplo, paso a paso.** $f(x) = 2x^2+3$ en $[1,2]$.

1. Buscamos una antiderivada $F$ (una función cuya derivada sea $f$): $F(x) = \dfrac{2x^3}{3}+3x$. Verificación rápida: $F'(x) = 2x^2 + 3 = f(x)$. ✓.
2. Evaluamos en el límite superior: $F(2) = \dfrac{2(2)^3}{3}+3(2) = \dfrac{16}{3}+6$.
3. Evaluamos en el límite inferior: $F(1) = \dfrac{2(1)^3}{3}+3(1) = \dfrac{2}{3}+3$.
4. Restamos (superior menos inferior): $F(2)-F(1) = \left(\tfrac{16}{3}+6\right) - \left(\tfrac{2}{3}+3\right) = \tfrac{23}{3}$.

$$\int_1^2 (2x^2+3)\,dx = \tfrac{23}{3}$$

```{r int-ftc}
#| fig-cap: "∫₁² (2x² + 3) dx = 23/3"
x_values <- seq(0.5, 3, 0.01)
ggplot(tibble(x = x_values, y = 2 * x_values^2 + 3), aes(x, y)) +
  geom_line(color = palette_curso[1], linewidth = 1.2) +
  geom_ribbon(data = tibble(x = seq(1, 2, 0.01)) %>% mutate(y = 2 * x^2 + 3),
              aes(x, ymin = 0, ymax = y), fill = palette_curso[2], alpha = 0.4) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")
```

**Aplicación.** Si la tasa de cambio de una población es $p(t) = 3t^2$ (miles de personas por año, $t$ en años desde 2020), el cambio total de población entre 2020 y 2023 es

$$\int_0^3 3t^2\, dt = \big[t^3\big]_0^3 = 27$$

```{r int-poblacion}
integrate(function(t) 3 * t^2, 0, 3)
```

La población aumentó en 27 mil personas en esos 3 años — y `integrate()` (integración numérica) confirma el resultado analítico.

## 3. Introducción a probabilidad

### Experimentos aleatorios y espacio muestral

Un **experimento aleatorio** es un proceso —real o hipotético— cuyo resultado concreto no se conoce antes de realizarlo, aunque sí se conocen sus posibles resultados.

> Experimento: tirar un dado. Posibles resultados: números enteros entre 1 y 6.

Cada posible resultado individual se llama **resultado elemental**. El conjunto de todos ellos se llama **espacio muestral**, $\Omega$:

$$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$

### Eventos

Un **evento** es un subconjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

> $A$: “obtener un 1 o un 5” $\to A=\{1,5\}$.

```{r prob-esquema-evento}
#| fig-cap: "Un evento A es un subconjunto del espacio muestral Ω"
circ_a <- circle_df(0, 0, 1.3)

ggplot() +
  annotate("rect", xmin = -2.2, xmax = 2.2, ymin = -1.8, ymax = 1.8,
           fill = NA, color = "grey40", linewidth = 1) +
  geom_polygon(data = circ_a, aes(x, y), fill = palette_curso[1], alpha = 0.4, color = palette_curso[1]) +
  annotate("text", x = -1.9, y = 1.55, label = "Ω", size = 6, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 0, y = 0, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +
  coord_equal() + theme_void()
```

### Operaciones con eventos

Sean $A$ y $B$ dos eventos:

- La **intersección**, $A\cap B$, contiene los resultados que pertenecen a $A$ **y** a $B$.
- La **unión**, $A\cup B$, contiene los resultados que pertenecen a $A$, a $B$ o a ambos. Este “o” es inclusivo.
- El **complemento**, $A^c$, contiene los resultados del espacio muestral que no pertenecen a $A$.
- El conjunto vacío, $\varnothing$, representa un evento imposible.

Dos eventos son **mutuamente excluyentes** si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, si $A\cap B=\varnothing$. Una colección de eventos forma una **partición** de $\Omega$ si sus eventos son mutuamente excluyentes y, al unirlos, cubren todo el espacio muestral.

Ejemplo con un dado:

$$A=\{1,3,5\}\quad\text{(resultado impar)},\qquad
B=\{4,5,6\}\quad\text{(resultado mayor que 3)}.$$

Entonces,

$$A\cap B=\{5\},\qquad
A\cup B=\{1,3,4,5,6\},\qquad
A^c=\{2,4,6\}.$$

### Probabilidad y reglas básicas

A cada evento se le asocia un número que cuantifica su probabilidad de ocurrencia: $\mathbb{P}(A) \in [0,1]$.

Cuando los resultados elementales son igualmente probables,

$$
\mathbb{P}(A)
=
\frac{\text{número de resultados favorables a }A}
{\text{número total de resultados}}.
$$

Con un dado justo, los seis resultados son igualmente probables. Si $A=\{1,5\}$, entonces $\mathbb{P}(A)=2/6=1/3$.

Reglas básicas:

1. **Rango**: $0 \le \mathbb{P}(A) \le 1$.
2. **Evento seguro e imposible**: $\mathbb{P}(\Omega)=1$ y $\mathbb{P}(\varnothing)=0$.
3. **Complemento**: $\mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(A)$.
4. **Unión**: $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.
5. **Unión de eventos mutuamente excluyentes**: si $A\cap B=\varnothing$, entonces $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.

```{r prob-esquema-union}
#| fig-cap: "P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B): la zona de traslape (A y B) no se cuenta dos veces"
circ_a <- circle_df(-0.6, 0, 1.3)
circ_b <- circle_df(0.6, 0, 1.3)

ggplot() +
  annotate("rect", xmin = -2.6, xmax = 2.6, ymin = -1.8, ymax = 1.8,
           fill = NA, color = "grey40", linewidth = 1) +
  geom_polygon(data = circ_a, aes(x, y), fill = palette_curso[1], alpha = 0.45, color = palette_curso[1]) +
  geom_polygon(data = circ_b, aes(x, y), fill = palette_curso[2], alpha = 0.45, color = palette_curso[2]) +
  annotate("text", x = -2.3, y = 1.55, label = "Ω", size = 6, hjust = 0) +
  annotate("text", x = -1.1, y = 0, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 1.1, y = 0, label = "B", size = 6, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 0, y = -1.55, label = "A y B (traslape)", size = 4) +
  coord_equal() + theme_void()
```

> Ejemplo (regla 4): con $A=\{1,5\}$ y $B=\{5,6\}$, tenemos $\mathbb{P}(A)=2/6$, $\mathbb{P}(B)=2/6$ y $\mathbb{P}(A\cap B)=1/6$. Por lo tanto, $\mathbb{P}(A\cup B)=2/6+2/6-1/6=3/6$. Restamos una vez la probabilidad del resultado $5$ porque había sido contado en ambos eventos.

### Probabilidad condicional

La probabilidad de $A$ **una vez que sabemos** que ocurrió $B$ es la probabilidad condicional de $A$ dado $B$:

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)},\qquad \mathbb{P}(B)>0.$$

Condicionar en $B$ significa restringir el espacio de resultados posibles a $B$ y preguntar qué fracción de ese nuevo espacio también pertenece a $A$.

> Ejemplo: dado justo, $A=\{4,5,6\}$ (“cuatro o más”) y $B=\{2,4,6\}$ (“par”). Una vez que sabemos que el resultado es par, los únicos resultados posibles son $\{2,4,6\}$; dos de ellos, $\{4,6\}$, también pertenecen a $A$. Por eso, $\mathbb{P}(A\mid B)=\dfrac{2/6}{3/6}=\dfrac{2}{3}$.

Al despejar el numerador se obtiene la **regla del producto**:

$$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\mid B)\,\mathbb{P}(B).$$

**Ejemplo resuelto.** En una población simplificada en dos grupos exhaustivos, $M$ (mujeres) y $H$ (hombres), un 5% son mujeres con estudios universitarios completos ($U$); las mujeres son 55% de la población y 20% de la población tiene estudios universitarios completos.

- $\mathbb{P}(U \mid M) = 0.05 / 0.55 \approx 0.09$
- $\mathbb{P}(M \mid U) = 0.05 / 0.20 = 0.25$
- $\mathbb{P}(H \mid U) = 1 - \mathbb{P}(M \mid U) = 0.75$ (H = hombre)

En general, $\mathbb{P}(A\mid B)\neq\mathbb{P}(B\mid A)$. El **teorema de Bayes** entrega una forma sistemática de pasar de un orden de condicionamiento al otro.

### Teorema de Bayes

La idea: ya sabemos calcular $\mathbb{P}(A\mid B)$ a partir de $\mathbb{P}(A\cap B)$. Bayes usa la misma intersección escrita mediante la regla del producto en los dos órdenes posibles.

**Derivación, paso a paso:**

1. Por la regla del producto:
   $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B)$.
2. Como $A\cap B=B\cap A$, también:
   $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B\mid A)\mathbb{P}(A)$.
3. Igualamos ambas expresiones:
   $\mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\mid A)\mathbb{P}(A)$.
4. Dividimos por $\mathbb{P}(B)$, suponiendo $\mathbb{P}(B)>0$:

$$
\mathbb{P}(A\mid B)
=
\frac{\mathbb{P}(B\mid A)\,\mathbb{P}(A)}
{\mathbb{P}(B)}.
$$

**Aplicado al ejemplo anterior, paso a paso** (queremos $\mathbb{P}(U\mid H)$, y ya conocemos $\mathbb{P}(H\mid U)=0.75$, $\mathbb{P}(U)=0.2$, $\mathbb{P}(H)=1-0.55=0.45$):

1. En la fórmula usamos $A=U$ y $B=H$.
2. Reemplazamos en la fórmula: $\mathbb{P}(U \mid H) = \dfrac{\mathbb{P}(H \mid U)\,\mathbb{P}(U)}{\mathbb{P}(H)}$.
3. Sustituimos los números: $= \dfrac{0.75 \times 0.2}{0.45}$.
4. Calculamos: $= \dfrac{0.15}{0.45} \approx 0.33$.

```{r bayes-check}
(0.75 * 0.2) / 0.45
```

### Ley de probabilidad total

Si $\{B_1,\dots,B_n\}$ particiona $\Omega$ en subconjuntos mutuamente excluyentes, entonces

$$\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A \mid B_i)\,\mathbb{P}(B_i)$$

La intuición: si queremos $\mathbb{P}(A)$ pero no la conocemos directamente, la separamos según cada posible "camino" hacia $A$ (uno por cada $B_i$), calculamos la probabilidad de cada camino por separado, y las sumamos.

**Continuación del mismo ejemplo.** Podemos recuperar $\mathbb{P}(U)=0.20$ separando la población en los grupos $H$ y $M$.

1. $H$ y $M$ forman una partición de la población.
2. Del ejemplo anterior, $\mathbb{P}(U\mid H)=1/3$ y $\mathbb{P}(H)=0.45$. Este camino aporta $(1/3)(0.45)=0.15$.
3. También calculamos $\mathbb{P}(U\mid M)=0.05/0.55=1/11$, y sabemos que $\mathbb{P}(M)=0.55$. Este camino aporta $(1/11)(0.55)=0.05$.
4. Sumamos ambos caminos: $\mathbb{P}(U)=0.15+0.05=0.20$.

```{r probabilidad-total}
(1 / 3) * 0.45 + (1 / 11) * 0.55
```

### Independencia estadística

Dos eventos $A$ y $B$ son **independientes** si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. Si $\mathbb{P}(B)>0$:

$$\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A) \quad\iff\quad \mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B)$$

> Ejemplo: dos monedas justas, $A$ = “cara en la primera” y $B$ = “sello en la segunda”. Entonces $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=1/2$ y $\mathbb{P}(A\cap B)=1/4=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$; por lo tanto, son independientes.