Probabilidad e Inferencia Estadística

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Probabilidad e Inferencia Estadística
]
.subtitle[
## Distribución Normal Standard
]
.author[
### Mauricio Bucca <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a>
]

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class: inverse, center, middle

#Distribución Normal Standard

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##Distribución Normal Standard

- `$X$` es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con valor esperado `$\mu$` y desviación estándard `$\sigma$`.

`$$X \sim \text{Normal}(\mu,\sigma)$$`

--

- Consideremos una nueva variable aleatoria `$Z$`, tal que

`$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$`

.bold[Pregunta: ¿Cual es la distribución de Z?]

.content-box-secondary[
.bolder[Respuesta]:
`$$Z \sim \text{Normal}(0,1)$$`

]

---
##Distribución Normal Standard

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png)
]

.pull-right[

.bold[Función de densidad probabilística]

`$$f(x) = \frac{1}{7 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - 15)^2}{2 \times 7^2}}
$$

`$$f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
$$
]

---
##Distribución Normal Standard

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)
]

.pull-right[

.bold[Función de probabilidad acumulada (CDF):]

`\begin{align}
F(-z) &= \mathbb{P}(Z \leq -z) = \int_{-\infty}^{-z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dx
\end{align}`

En este caso, `$-z=-1$`

- No tenemos una fórmula analítica sencilla para `$F(-z)$`.

- Por convención la .bold[CDF de una Normal Standard se denota] `$\Phi(.)$`, tal que

- `$\Phi(-z): F(-z)$`

- En `R` podemos calcular `$\Phi(-1)$` fácilmente:

``` r
pnorm(-1)
```

```
## [1] 0.1586553
```
]

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class: inverse, center, middle

#Propiedades de la Normal Standard

---
##1) Simetría

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png)
]

.pull-right[

Si
`\begin{align}
 \mathbb{P}(Z \leq -z) = \Phi(-z)  = p
\end{align}`

entonces

`\begin{align}
 \mathbb{P}(Z \geq z) =  1 - \Phi(z) = p
\end{align}`

En este caso, `$z=1$` y `$-z=-1$`

]

---
##1) Simetría

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png)
]

.pull-right[

En `R`,

- `$\mathbb{P}(Z \leq -1) = \Phi(-1) =$`

``` r
pnorm(-1)
```

```
## [1] 0.1586553
```

y

- `$\mathbb{P}(Z \geq 1) = 1 - \Phi(1) =$`

``` r
1- pnorm(q=1)
```

```
## [1] 0.1586553
```

]

---
##2) Probabilidad en las colas

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png)
]

.pull-right[

`\begin{align}
\mathbb{P}( Z \leq -z  \quad \text{or} \quad   Z \geq z ) &= \\ \\
 &= \Phi(-z) + (1 - \Phi(z)) \quad \text{ por simetría} &= \\ \\
 &= 2 \times \Phi(-z) 
\end{align}`

Por ejemplo,  `$\mathbb{P}( Z \leq -1  \quad \text{or} \quad   Z \geq 1 )$`

``` r
2*pnorm(-1)
```

```
## [1] 0.3173105
```

]

---
##2) Probabilidad central

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png)
]

.pull-right[

`\begin{align}
\mathbb{P}( -z \leq Z \leq z) &=  \mathbb{P}( |Z| \leq z) \\ \\
 &= \Phi(z)  - \Phi(-z)   \quad \text{ por simetría} \\ \\
 &= 1 - 2 \times \Phi(-z) 
\end{align}`

Por ejemplo,  `$\mathbb{P}(-1 \leq Z \leq 1)$`

``` r
1 - 2*pnorm(-1)
```

```
## [1] 0.6826895
```

]

---
##3) Probabilidad central: σ y 2σ

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.png)
]

.pull-right[

En una Normal Standard:

- La probabilidad de encontrar .bold[valores a menos de 1σ] respecto de la media es aprox. 68\%.

`\begin{align}
\mathbb{P}( -1 \leq Z \leq 1) = 1 - 2 \times \Phi(-1) 
\end{align}`

``` r
1 - 2*pnorm(-1)
```

```
## [1] 0.6826895
```

- La probabilidad de encontrar .bold[valores a menos de 2σ] respecto de la media es aprox. 96\%.

`\begin{align}
\mathbb{P}( -2 \leq Z \leq 2) = 1 - 2 \times \Phi(-2) 
\end{align}`

``` r
1 - 2*pnorm(-2)
```

```
## [1] 0.9544997
```

]

---
class: inverse, center, middle

#Quantiles de la Normal Standard

---
##Función de Quantiles de la Normal Standard

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.png)
]

.pull-right[

En terminos generales, la .bold[función de quantiles] es la inversa de la función de densidad acumulada (CDF):

-  En una Normal Standard la CDF `$\Phi(z)$` entrega `$p = \mathbb{P}(Z \leq z)$`.

- La inversa de la CDF, `$\Phi^{-1}(p)$` entrega el valor `$z$` tal que `$\mathbb{P}(Z \leq z) = p$`.

- No hay fórmula analítica sencilla para `$\Phi^{-1}(p)$`, pero podemos calcularlo en `R`.

.bold[Ejemplo:] ¿Bajo que valor de una Normal Standard se acumula el 90% de la probabilidad?

``` r
qnorm(p=0.1); qnorm(p=0.9)
```

```
## [1] -1.281552
```

```
## [1] 1.281552
```

]

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class: inverse, center, middle

# De Normal Standard a
# Normal con parámetros arbitrarios

---
### De Normal Standard a Normal con parámetros arbitrarios

Si `$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$`

entonces

$$X = \mu + \sigma Z  $$

--

Si sabemos que `$Z \sim \text{Normal}(0,1)$`, ¿Cual es la distrubución de `$X$`?

--

`$$X \sim  \text{Normal}(\mu,\sigma)$$`

---
### Función de probabilidad acumulada

.pull-left[

`$X \leq x \implies  \frac{X-\mu}{\sigma} \leq  \frac{x-\mu}{\sigma}$`

`$X \leq x \implies  Z \leq  z$`

Dado que `$x = \mu + \sigma z \quad$` entonces:

`$$\mathbb{P}(X \leq x ) = \mathbb{P}(X \leq \mu + \sigma z ) = \mathbb{P}(Z \leq z)$$`
 
- Sabemos que `$\mathbb{P}(Z \leq z) = \Phi(z)$`

.content-box-secondary[
.bolder[Por tanto:]
`$$F_{X}(x) = F_{X}( \mu + \sigma z) = \Phi(z)$$`
]

]

.pull-right[

![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-17-1.png)

]

---
###  Función de probabilidad acumulada

.bold[Ejemplo:]

- Si `$X \sim  \text{Normal}(\mu=5,\sigma=3)$`

- ¿Cuanta es la probabilidad de obtener un valor `$X \leq 3.48$`?

.bold[Respuesta:]

- Sabemos que: `$F_{X}(x) = F_{X}( \mu + \sigma z) = \Phi(z)$`, por tanto,

`$$F_{X}(3.48) = \Phi\Big( (3.48 - 5)/3 \Big) = 0.306$$`

.pull-left[
.bolder[En `R`]:

``` r
z <- (3.48 - 5)/3
p <- pnorm(z); print(p)
```

```
## [1] 0.3061944
```

]

.pull-right[
 
.bolder[Chequeamos el resultado]

``` r
pnorm(3.48, mean=5, sd=3)
```

```
## [1] 0.3061944
```
]

---
###  Función de probabilidad acumulada inversa

.pull-left[- Si `$\Phi^{-1}(p)=z$` y

- `$x = \mu + \sigma z$`

- `$x = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p)$`

.content-box-secondary[
.bolder[Entonces:]
`$$F^{-1}_{X}(p) = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p)$$`
]

]

.pull-right[

![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-20-1.png)

]

---
###  Función de probabilidad acumulada inversa

.bold[Ejemplo:]

- Si `$X \sim  \text{Normal}(\mu=5,\sigma=3)$`

- ¿Bajo que valor de `$X$` se acumula el 30% de la densidad probabilística?

.bold[Respuesta:]

- Sabemos que: `$F^{-1}_{X}(p) = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p)$`, por tanto,

`$$F^{-1}_{X}(0.3) = 5 + 3 \Phi^{-1}(0.3) = 3.43$$`

.pull-left[
.bolder[En `R`]:

``` r
z_30 <- qnorm(0.3); print(z_30)
```

```
## [1] -0.5244005
```

``` r
x_30 <- 5 + 3*z_30; print(x_30 )
```

```
## [1] 3.426798
```

]

.pull-right[
 
.bolder[Chequeamos el resultado]

``` r
qnorm(p=0.3, mean=5, sd=3)
```

```
## [1] 3.426798
```
]

---
### Contrucción de Intervalos

Si `$X \sim  \text{Normal}(\mu,\sigma)$`, ¿Cuales son los valores `$x_1$` y `$x_2$` tales que `$\mathbb{P}( x_1 \leq X \leq x_2) = p$` ?

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-23-1.png)
]

.pull-right[

.bold[Despejando por] `$x_1$`:

`\begin{align}
F_{X}(x_1) &= (1-p)/2  \quad \text{ aplicando función inversa (quantiles)} \\
          x_1 &= F^{-1}_{X}\Big( (1-p)/2 \Big)
\end{align}`

Dado que  `$F^{-1}_{X}(q) =  \mu + \sigma \Phi^{-1}(q)$`, concluimos que 
`$$x_1 = F^{-1}_{X}\Big( (1-p)/2 \Big) = \mu + \sigma \Phi^{-1}\Big((1-p)/2\Big)$$`

.bold[En este caso]:

``` r
z_5 <- qnorm( 0.1/2 ); print(z_5) 
```

```
## [1] -1.644854
```

``` r
x1 <- 5 + 3*z_5; print(x1)
```

```
## [1] 0.06543912
```

]

---
### Contrucción de Intervalos

Si `$X \sim  \text{Normal}(\mu,\sigma)$`, ¿Cuales son los valores `$x_1$` y `$x_2$` tales que `$\mathbb{P}( x_1 \leq X \leq x_2) = p$` ?

.pull-left[
![](class_8_files/figure-html/unnamed-chunk-25-1.png)
]

.pull-right[

.bold[Despejando por] `$x_2$`:

`\begin{align}
1 - F_{X}(x_2) &=  (1-p)/2 \\
          1 - (1-p)/2  &= F_{X}(x_2)  \\
          F^{-1}_{X}\Big( 1-  (1-p)/2 \Big) &= x_2
\end{align}`

Dado que  `$F^{-1}_{X}(q) =  \mu + \sigma \Phi^{-1}(q)$`, concluimos que 
`$$x_2 = F^{-1}_{X}\Big( 1- (1-p)/2 \Big) = \mu + \sigma \Phi^{-1}\Big( 1- (1-p)/2 \Big)$$`

.bold[En este caso]:

``` r
z_95 <- qnorm( 1 - 0.1/2 ); print(z) 
```

```
## [1] -0.5066667
```

``` r
x2 <- 5 + 3*z_95; print(x2)
```

```
## [1] 9.934561
```

]

---
class: inverse, center, middle

##Hasta la próxima clase. Gracias!

Mauricio Bucca 
https://mebucca.github.io/ 
github.com/mebucca