Probabilidad e Inferencia Estadística

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.title[
# Probabilidad e Inferencia Estadística
]
.subtitle[
## #7: Estandarización (puntaje Z)
]
.author[
### Mauricio Bucca <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a>
]

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## Momentos

.center[

|   Momento         | Notación parámetro teórico/poblacional | Intuición                    |
|-------------------|----------------------------------------|------------------------------|
| **Valor Esperado**| `$\mathbb{E}(X) = \mu$`                           | Punto de equilibrio o centro |
| **Varianza**      | `$\mathbb{Var}(X) = \sigma^2$`                    | Dispersión en torno al centro|

]

--

.bold[Ejemplo:]

`$$X \sim \text{Normal}(\mu,\sigma)$$`

La variable aleatoria `$X$` sigue una distribución Normal con valor esperado `$\mu$` y desviación estándard `$\sigma$`.

---
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#Estandarización
##(puntaje Z)

---
## Puntaje Z

--

Sea `$X$` es una variable aleatorial, tal que:

- `$\mathbb{E}(X) = \mu$` 
  
  - `$\mathbb{Var}(X) = \sigma^2$`. Equivalentemente, `$\sqrt{\mathbb{Var}(X)} = \sigma$`

--

El puntaje Z de dicha variable se define como:

`\begin{align}
    Z &= \frac{X - \mathbb{E}(X)}{\sqrt{\mathbb{Var}(X)}} \\  \\
    &= \frac{X - \mu}{\sigma}
\end{align}`

---
## Valor esperado de Z

El valor esperado de una variable Z es 0:

$$
`\begin{aligned}
    \mathbb{E}(Z) &= \mathbb{E}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) \\ \\
    &= \frac{1}{\sigma} \mathbb{E}(X - \mu) \\ \\
    &= \frac{1}{\sigma} ( \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(\mu) )  \\ \\
    &= \frac{\mu - \mu}{\sigma}  = 0
\end{aligned}`
$$

--
 
.bold[Des-centrar una variable:] cada valor individual `$x$` se desplaza por la misma cantidad, `$-\mu$` .

---
## Varianza de Z

La varianza (y desviación standard) de una variable Z es 1:

`\begin{aligned}
\mathbb{Var}(Z) &= \mathbb{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) \\ \\
                &= \frac{1}{\sigma^2} \mathbb{Var}(X - \mu) \\ \\
                &= \frac{1}{\sigma^2} ( \mathbb{Var}(X) -  \mathbb{Var}(\mu) ) \\ \\
                &= \frac{\sigma^2 - 0}{\sigma^2} = 1
\end{aligned}`

--
 
.bold[Re-escalamiento de una variable:] cada valor individual `$x$` se escala por `$\frac{1}{\sigma}$`

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## Propiedades variable en pje. Z

.pull-left[

- .bold[Sin unidad:] Toda variable en puntaje Z tiene la misma media y la misma desviación estándar. Útil para comparar valores que provienen de distintas distribuciones ("estandarizar").

- .bold[Preserva forma:] des-centramiento y re-escalamiento no cambia la forma de la distribución original.
]

.pull-right[

![](class_7_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png)
]

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#Ejemplo
##Altura en dos "poblaciones"

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## Altura en dos "poblaciones"

.center[
  ![faroe](faroe.png)
]

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## Altura en dos "poblaciones"

.bold[Proceso "generador" de datos]

Supongamo que acuerdo a determinantes genèticos, la altura de un hombre de Islas Faroe y la de una mujer de Filipinas pueden describirse respectivamente como una .bold[realización] de las siguientes variables aleatorias:

.pull-left[

-  Hombre Islas Faroe

`$$A_{HIF}\sim \text{Normal}(\mu = 179,\sigma = 5)$$`

- Mujer Filipinas

`$$A_{MF}\sim \text{Normal}(\mu = 150,\sigma = 7)$$`

]

.pull-right[

![](class_7_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)
]

---
## Altura en dos "poblaciones"

``` r
mu_faroe=179; sigma_faroe=5
mu_filip=150; sigma_filip=7

hombres_faroe <- rnorm(n=53000, mean = mu_faroe, sd=sigma_faroe)
mujeres_filip <- rnorm(n=113000000, mean = mu_filip, sd=sigma_filip)

hombres_faroe_z <- (hombres_faroe - mu_faroe)/sigma_faroe
mujeres_filip_z <- (mujeres_filip - mu_filip)/sigma_filip

datos_faroe <- data_frame(altura = hombres_faroe, z=hombres_faroe_z)
datos_filip <- data_frame(altura = mujeres_filip, z=mujeres_filip_z)
```

.pull-left[

```
## # A tibble: 6 × 2
## altura z
## <dbl> <dbl>
## 1 167.8 -2.250 
## 2 177.2 -0.3679 
## 3 176.9 -0.4263 
## 4 179.3 0.06878
## 5 178.9 -0.01515
## 6 182.1 0.6255
```
]

.pull-right[

```
## # A tibble: 6 × 2
## altura z
## <dbl> <dbl>
## 1 149.6 -0.05615
## 2 152.9 0.4188 
## 3 153.4 0.4920 
## 4 147.2 -0.4025 
## 5 150.5 0.06986
## 6 129.9 -2.871
```
]

---
## Altura en dos "poblaciones"

.pull-left[

.bold[Población simulada]

|    País     | Género |   Población   | Altura Promedio (cms) |
|:-----------:|:------:|:-------------:|:---------------------:|
| Islas Feroe |   H    |    ~53,000    |        179.02         |
|  Filipinas  |   M    | ~113 millones |        150.00         |

.bold[Población existente]

| País          |   Género   |   Población   | Altura Promedio (cms) |
|:-------------:|:----------:|:-------------:|:--------------------:|
| Islas Feroe   |     H      |   ~53,000    |         179.00     |
| Filipinas     |     M      | ~113 millones |         150.00          |

]

.pull-right[

![faroe](faroe.png)
]

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class: inverse, center, middle

##Hasta la próxima clase. Gracias!

Mauricio Bucca 
https://mebucca.github.io/ 
github.com/mebucca