class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Probabilidad e Inferencia Estadística ] .subtitle[ ## #6: Momentos de una distribución ] .author[ ### <br> Mauricio Bucca <br> <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <br> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a> ] --- class: fullscreen, center, middle  --- class: inverse, center, middle #Primer momento ##Valor Esperado --- ## Valor Esperado El valor esperado de una variable es el análogo teórico de un promedio. Los posibles valores de la variable se ponderan por su probabilidad de ocurrencia. En el caso de variables discretas: <br> -- `\begin{align} \mathbb{E}(X) &= \sum_{i} x_{i} \times \mathbb{P}(X=x_{i}) \\ &\equiv \sum_{i} x_{i} \times f(x_{i}) \end{align}` <br> -- Es teórico porque esta información la podemos saber *a priori*, sin necesidad de datos. -- Análogamente, para variables continuas: `\begin{align} \mathbb{E}(X) = \int x f(x)dx \end{align}` --- ## Valor Esperado, variable discreta Por ejemplo, supongamos que `\(Y\)` es una variable que resulta de tirar un dado "justo". ¿Cuál es el valor esperado de `\(Y\)`? <br> -- `\begin{align} \mathbb{E}(Y) &= \sum_{i}y_{i} \times f(y_{i}) \\ \\ &= \sum_{i}y_{i} \times \mathbb{P}(Y=y_{i}) \\ \\ &= 1 \times \frac{1}{6}+ 2 \times \frac{1}{6} + \dots + 6 \times \frac{1}{6} \\ \\ &= 3.5 \end{align}` --- ## Valor Esperado, algunas propiedades útiles <br> -- 1) El valor esperado de una constante es una constante. `$$\mathbb{E}(c)=c$$` <br> -- 2) Si `\(X\)` es una variable aleatoria y `\(c\)` una constante, entonces `$$\mathbb{E}(X + c)= \mathbb{E}(X) + c$$` <br> -- 3) Si `\(X\)` es una variable aleatoria y `\(c\)` una constante, entonces `$$\mathbb{E}(c X)= c \mathbb{E}(X)$$` <br> -- 4) Si `\(X\)` e `\(Y\)` son variables aleatorias (sin importar si `\(X \bot Y\)` o no), entonces `$$\mathbb{E}(X + Y)= \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$` --- ## Valor Esperado, ejemplo Por ejemplo, supongamos que `\(X_{i}\)` es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ `\(1000\)` de base, más el resultado de cada dado `\(i\)` multiplicado por 100. -- ¿Cuánto es el premio esperado? -- .center[ <!-- --> ] --- ## Valor Esperado, ejemplo Por ejemplo, supongamos que `\(X_{i}\)` es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ `\(1000\)` de base, más el resultado de cada dado `\(i\)` multiplicado por 100. ¿Cuánto es el premio esperado? <br> -- `$$G = 1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100 \quad \text{ por tanto,}$$` -- `$$\mathbb{E}(G) = \mathbb{E}(1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100)$$` -- `$$\mathbb{E}(G) = 1000 + 100 \times \sum^{n=10}_{i=1}\mathbb{E}(X_{i})$$` -- $$\mathbb{E}(G) = 1000 + 10 (3.5 + 3.5 + \dots + 3.5)) = 1000 + 100 \times 10 \times 3.5 = \$4500$$ --- --- class: inverse, center, middle #Segundo momento ##Varianza --- ## Varianza La varianza de una variable aleatoria es el análogo teórico de la varianza de los datos. -- Mide cuánta dispersión existe en torno al centro (la media). Formalmente, en el caso de variables aleatorias discretas: <br> `$$\mathbb{Var}(X) = \sum_{i} \bigg( x_{i} - \mathbb{E}(X) \bigg)^{2} \times f(x_{i})$$` <br> -- Análogamente, para variables continuas: `\begin{align} \mathbb{Var}(X) = \int \bigg(x - \mathbb{E}(X)\bigg)^{2} f(x)dx \end{align}` --- ## Varianza Por ejemplo, si `\(Y\)` es una variable que resulta de tirar un dado "justo", ¿cuál es la varianza de `\(Y\)`? <br> -- `\begin{align} \mathbb{Var}(Y) &= \sum_{i} \bigg( y_{i} - \mathbb{E}(Y) \bigg)^{2} \times f(y_{i}) \\ \\ &= (1 - 3.5)^{2} \times \frac{1}{6} + (2-3.5)^{2} \times \frac{1}{6} + \dots + (6-3.5)^{2} \times \frac{1}{6} \\ \\ &= 2.91 \end{align}` --- ## Varianza, algunas propiedades útiles <br> -- 1) La varianza de una constante es cero. <br> `$$\mathbb{Var}(c)=0$$` <br> -- 2) Si `\(X\)` es una variable aleatoria y `\(c\)` una constante, entonces <br> `$$\mathbb{Var}(c X)= c^{2} \mathbb{Var}(X)$$` <br> -- 3) Si `\(X\)` e `\(Y\)` son dos variables aleatorias .bold[independientes], entonces <br> `$$\mathbb{Var}(X \pm Y) = \mathbb{Var}(X) + \mathbb{Var}(Y)$$` --- ## Varianza, ejemplo Por ejemplo, supongamos que `\(X_{i}\)` es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ `\(1000\)` de base, más el resultado de cada dado `\(i\)` multiplicado por 100. -- ¿Cuánto es la desviación estándar del premio? -- .center[ <!-- --> ] --- ## Varianza, ejemplo Por ejemplo, supongamos que `\(X_{i}\)` es la variable que resulta de tirar un dado "justo". Participamos de un concurso que consiste en tirar el mismo dado 10 veces. El premio (G) es $ `\(1000\)` de base, más el resultado de cada dado `\(i\)` multiplicado por 100. ¿Cuánto es la desviación estándar del premio? <br> -- `$$G = 1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100 \quad \text{ por tanto,}$$` -- `$$\mathbb{Var}(G) = \mathbb{Var}(1000 + \sum^{n=10}_{i=1} X_{i} \times 100)$$` -- `$$\mathbb{Var}(G) = \mathbb{Var}(1000) + 100^{2} \times \sum^{n=10}_{i=1}\mathbb{Var}(X_{i})$$` -- $$\mathbb{Var}(G) = 0 + 100^{2} \times 10 \times 2.9167 = \$291,670$$ <br> -- $$\sigma_{G} = \sqrt{0 + 100 \times 100 \times 291,670} = \$ 539.88$$ --- class: inverse, center, middle .huge[ **Hasta la próxima clase. Gracias!** ] <br> Mauricio Bucca <br> https://mebucca.github.io/ <br> github.com/mebucca