class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Probabilidad e Inferencia Estadística ] .subtitle[ ## #5: Distribuciones continuas ] .author[ ### <br> Mauricio Bucca <br> <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <br> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a> ] .date[ ### 20 August, 2024 ] --- class: inverse, center, middle ##Distribuciones Continuas ### Intuición --- ### Tiro de penal Copa Mundial de la FIFA 1974. Carlos Caszely se prepara para un importante penal contra Alemania Occidental... -- .pull-left[ .bold[Variable Aleatoria Continua `\(X\)`]: - Distancia horizontal exacta (en cms) desde el centro de la portería por donde el balón cruzará la línea de fondo. <br> .bold[Número infinito de resultados posibles]: - Cada punto a lo largo de la linea de fondo donde el balón podría cruzar. <br> .bold[Evento aleatorio]: - Cada punto específico (ej. `\(x=-3.14159\)`) tiene probabilidad de ocurrencia 0. - Podemos calcular probabilidades para rangos específicos de valores (ej. `\(-3.3 < x < -3.1\)`). ] -- .pull-right[ <br> <br> <br> .center[] ] --- class: inverse, center, middle ##Distribuciones Continuas ### Distribución Uniforme --- ### Distribución uniforme .pull-left[ Los meteorólogos predicen que la temperatura mañana se encontrará entre 25 y 30 grados, donde todas las temperaturas en ese rango son igualmente probables <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de densidad probabilistica (PDF):] `\begin{align} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } \quad b \leq x \leq a \\ 0 & x < a \quad \text{ o } \quad x > b \end{cases} \end{align}` <br> En este caso `\(b=30\)` y `\(a=25\)`. ] --- ### Distribución uniforme .pull-left[ Los meteorólogos predicen que la temperatura mañana se encontrará entre 25 y 30 grados, donde todas las temperaturas en ese rango son igualmente probables <!-- --> ] .pull-right[ .bold[Función de densidad probabilistica (PDF):] `\begin{align} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } \quad b \leq x \leq a \\ 0 & x < a \quad \text{ o } \quad x > b \end{cases} \end{align}` <br> En este caso `\(b=30\)` y `\(a=25\)`. <br> .bold[Importante:] `\begin{align} f(x) \neq \mathbb{P}(X=x) \end{align}` <br> por ejemplo, `\(f(27.354)\)` = 27.354/(30-25) = 5.47 y `\(\mathbb{P}(X=27.354) = 0\)` ] --- ### Distribución uniforme .pull-left[ ¿Cual es la probabilidad de que la temperatura esté por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] -- .pull-rigth[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF):] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \int_{a}^{k} f(x) dx = \int_{a}^{k} \frac{1}{b-a} dx \\ \\ &= \left. \frac{x}{b-a} \right|_a^k \\ \\ &= \frac{k-a}{b-a} \end{align}` <br> En este caso `\(b=30\)`, `\(a=25\)` y `\(k=28\)`. ] --- ### Distribución uniforme .pull-left[ ¿Cual es la probabilidad de que la temperatura esté por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] -- .pull-rigth[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF):] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \int_{a}^{k} f(x) dx \quad = \quad \int_{a}^{k} \frac{1}{b-a} dx \\ \\ &= \left. \frac{x}{b-a} \right|_a^k \\ \\ &= \frac{k-a}{b-a} \end{align}` <br> En este caso `\(b=30\)`, `\(a=25\)` y `\(k=28\)`. ] `\(\frac{28-25}{30-25} =\)` 0.6 --- ### Distribución uniforme .pull-left[ ¿Cual es la probabilidad de que la temperatura esté por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] .pull-rigth[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF):] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \frac{k-a}{b-a} \end{align}` <br> En este caso `\(b=30\)`, `\(a=25\)` y `\(k=28\)`. ] --- ### Distribución uniforme .pull-left[ ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté entre 26 y 28 grados? <br> <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF):] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) = \frac{k-a}{b-a} \end{align}` <br> .bold[Probabilidad de un intervalo:] `$$\mathbb{P}(k_1 \leq X \leq k_2) = F(k_2) - F(k_1)$$` <br> En este caso: `\begin{align} \mathbb{P}(26 \leq X \leq 28) &= \\ \\ &= \frac{k_2-a}{b-a} - \frac{k_1-a}{b-a} = \frac{k_2-k_1}{b-a} \\ \\ &= \frac{28-26}{30-25} = 0.4 \end{align}` ] --- class: inverse, center, middle ##Distribuciones Continuas ### Distribución Normal --- class: center, middle  --- class: center, middle  --- ### Distribución Normal .pull-left[ Según los meteorólogos la temperatura más probable mañana es de 27.5 grados. Otras temperaturas también son probables, pero son menos probable mientrás más se alejan de 27.5 <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de densidad probabilistica (PDF) de una distribución normal:] `\begin{align} f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align}` .bold[Características:] - _Simetría_: la curva de la distribución normal es simétrica alrededor de su media `\((\mu)\)`. - _Asíntota_: todo valor tiene una probabilidad distinta de cero. - _Dispersión y forma_: la desviación estándar determina el ancho y la forma de la campana `\((\sigma)\)`. A mayor desviación estándar, la curva es más ancha y plana. A menor desviación estándar, es más estrecha y puntiaguda. <br> En este caso, `\(\mu=27.5\)` y `\(\sigma=1.5\)`. ] --- ### Distribución Normal .pull-left[ Un grupo alterativo de meteorólogos señala que la temperatura más probable es de 26 grados pero expresa mucho menos certeza en su predicción. <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de densidad probabilistica (PDF) de una distribución normal:] `\begin{align} f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align}` <br> En esta segunda distribución: - _Simetría_: la curva de la distribución normal es simétrica alrededor de su media `\(\mu=26\)`. - _Dispersión y forma_: con una mayor desviación estándar `\((\sigma=3)\)`, la curva es más ancha y plana. ] --- ### Distribución normal .pull-left[ En base al modelo del primer grupo de meteorólogos, ¿cuál es la probabilidad de tener temperaturas por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF) de una distribución normal:] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \int_{-\infty}^{k} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \end{align}` En este caso, `\(k=28\)` - No tenemos una fórmula analítica sencilla para `\(F(k)\)` como en la distribución uniforme. - Con software estadístico, podemos calcular `\(F(k)\)` fácilmente. ] --- ### Distribución normal .pull-left[ En base al modelo del primer grupo de meteorólogos, ¿cuál es la probabilidad de tener temperaturas por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] .pull-right[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF) de una distribución normal:] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \int_{-\infty}^{k} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \end{align}` En este caso, `\(k=28\)` - No tenemos una fórmula analítica sencilla para `\(F(k)\)` como en la distribución uniforme. - Con software estadístico, podemos calcular `\(F(k)\)` fácilmente. En `R`: ``` r pnorm(q=28, mean=27.5, sd=1.5) ``` ``` ## [1] 0.6305587 ``` ] --- ### Distribución normal .pull-left[ En base al modelo del primer grupo de meteorólogos, ¿cuál es la probabilidad de tener temperaturas por debajo de los 28 grados? <br> <!-- --> ] .pull-right[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF) de una distribución normal:] `\begin{align} F(k) &= \mathbb{P}(X \leq k) \\ \\ &= \int_{-\infty}^{k} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \end{align}` En este caso, `\(k=28\)` <br> En `R`: ``` r pnorm(q=28, mean=27.5, sd=1.5) ``` ``` ## [1] 0.6305587 ``` ] --- ### Distribución normal .pull-left[ ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté entre 26 y 28 grados? <br> <!-- --> ] -- .pull-right[ .bold[Función de distribución acumulada (CDF):] `\begin{align} F(k) = \mathbb{P}(X \leq k) = \int_{-\infty}^{k} f(x) dx \end{align}` .bold[Probabilidad en un intervalo:] `$$\mathbb{P}(k_1 \leq X \leq k_2) = F(k_2) - F(k_1)$$` <br> En este caso: `\begin{align} \mathbb{P}(26 \leq X \leq 28) = F(28) - F(26) \end{align}` En `R`: ``` r pnorm(q=28, mean=27.5, sd=1.5) - pnorm(q=26, mean=27.5, sd=1.5) ``` ``` ## [1] 0.4719034 ``` ] --- class: inverse, center, middle .huge[ **Hasta la próxima clase. Gracias!** ] <br> Mauricio Bucca <br> https://mebucca.github.io/ <br> github.com/mebucca