Probabilidad e Inferencia Estadística

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.title[
# Probabilidad e Inferencia Estadística
]
.subtitle[
## #3: Variables Aleatorias
]
.author[
### Mauricio Bucca <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a>
]

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#Variables Aleatorias
## Intuición

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### Variables Aleatorias

Una .bold[variable aleatoria] es una variable cuyos valores son el resultado de un experimento aleatorio.

Si `$\Omega$` es el espacio muestral de un experimento, una variable aleatoria es una función que _mapea_ el espacio muestral a los números reales: `$\Omega \to \mathbb{R}$`.

Ejemplo:

- Experimento: tirar 2 dados "justos" simultáneamente

![dice_row](dice_row.png)

- Espacio muestral `$\Omega$`: `$\{(1;1),(1;2), \dots, (5;6),(6;6)\}$`

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`$X$` es la variable aleatoria que resulta de sumar el resultado de ambos dados,

`$$X: \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}$$`

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### Variables Aleatorias

Cada valor posible de una variable aleatoria tiene una probabilidad conocida de ocurrencia, denotada como `$\mathbb{P}(X=x)$`.

.bold[Ejercicio rápido:] Si `$X$` es la variable que resulta de sumar los dos dados (justos) obtenidos ...

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.pull-left[
![dice_two](dice_two.jpg)
]

.pull-right[
¿Cuál es la probabilidad de que la variable `$X$` tome valor 4?

`$$\mathbb{P}(X=4) =  \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$$`
]

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### Distribución de una variable aleatoria

El conjunto de las probabilidades asociadas a cada posible resultado de una variable aleatoria se denomina la .bold[distribución] de la variable.

Continuando con nuestro ejemplo, podemos caracterizar la distribución de X con una función:

.pull-left[
`\begin{align}
  f(x) =
  \begin{cases}
    \frac{1}{36}  & \quad \text{si } x=2 \text{ o } x=12\\
    \frac{2}{36}  & \quad \text{si } x=3 \text{ o } x=11\\
    \frac{3}{36}  & \quad \text{si } x=4 \text{ o } x=10\\
    \frac{4}{36}  & \quad \text{si } x=5 \text{ o } x=9\\
    \frac{5}{36}  & \quad \text{si } x=6 \text{ o } x=8\\
    \frac{6}{36}  & \quad \text{si } x=7 \\
    0             & \quad \text{otherwise}
  \end{cases}
\end{align}`
]

.pull-right[

|y  | P(X=x) |
|:--|:------:|
|2  |  0.03  |
|3  |  0.06  |
|4  |  0.08  |
|5  |  0.11  |
|6  |  0.14  |
|7  |  0.17  |
|8  |  0.14  |
|9  |  0.11  |
|10 |  0.08  |
|11 |  0.06  |
|12 |  0.03  |
]

---
### Distribución de una variable aleatoria

.pull-left[

Podemos caracterizar la distribución de X con una función:

`\begin{align}
  f(x) =
  \begin{cases}
    \frac{1}{36}  & \quad \text{si } x=2 \text{ o } x=12\\
    \frac{2}{36}  & \quad \text{si } x=3 \text{ o } x=11\\
    \frac{3}{36}  & \quad \text{si } x=4 \text{ o } x=10\\
    \frac{4}{36}  & \quad \text{si } x=5 \text{ o } x=9\\
    \frac{5}{36}  & \quad \text{si } x=6 \text{ o } x=8\\
    \frac{6}{36}  & \quad \text{si } x=7 \\
    0             & \quad \text{otherwise}
  \end{cases}
\end{align}`

]

.pull-right[

![](class_3_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)

.bold[Importante:] `$\sum_{i=2}^{12} \mathbb{P}(X=i) = 1$`

]

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#Distribuciones de Probabilidad

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### Tipos de variables aleatorias

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- .bold[Variables discretas:] variables que solo pueden tomar un número contable de valores distintos y separados, sin valores intermedios posibles entre ellos. Usualmente medidas con números enteros.

Ejemplo: cara/sello, número de accidentes de tránsito, etc.

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- .bold[Variables continuas:] variables que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango especificado. Estas variables tienen un número infinito de posibles resultados y no están limitadas a valores aislados.

Ejemplo: Los ingresos de una persona pueden tomar cualquier valor entre 0 y `$\infty$`+.

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### Distribución de una variable aleatoria

El conjunto de las probabilidades asociadas a cada posible resultado de una variable aleatoria se denomina la .bold[distribución] de la variable.

--

La distribución de una variable se puede caracterizar de manera .bold[única] de (al menos) dos maneras:

- .bold[Función de masa/densidad de probabilidad] (PMF/PDF): `$f(x)$`

- En el caso de variables discretas `$f(x) = \mathbb{P}(X=x)$`. 
   
   - Ejemplo, evaluando `$f(5)$` obtenemos la probabilidad de que `$X$` tome valor 5.

--

- .bold[Función de distribución acumulada] (CDF): `$F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$`

- Ejemplo, evaluando `$F(5)$` obtenemos la probabilidad de que `$X$` tome un valor igual o menor a 5.

- En el caso de variables discretas `$f(x) = \mathbb{P}(X=x)$`. 
   
   - Ejemplo, evaluando `$f(5)$` obtenemos la probabilidad de que `$X$` tome valor 5.

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#f(x)

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### Función de masa/densidad de probabilidad (pmf/pdf)

.bold[pmf: función de masa de probabilidad]

- En el caso de variables discretas `$f(x) = \mathbb{P}(X=x)$`. 
   
   - Es decir, si `$X$` es una variable aletoria discreta con **pmf:** `$f(x)$`, entonces evaluando `$f(a)$` obtenemos la probabilidad de que `$X$` tome valor a.

--

.bold[Ejemplo:] si `$X$` es la variable que resulta de sumar los dos dados justos, entonces su *función de de masa de probabilidad* está dada por:

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### Función de masa/densidad de probabilidad (pmf/pdf)

.bold[pdf: función de densidad de probabilidad]

- En el caso de variables continuas, la **función de densidad de probabilidad** (pdf) `$f(x)$` no representa directamente la probabilidad de que `$X$` tome un valor específico `$x$`. En cambio, `$f(x)$` describe la densidad de probabilidad en torno a `$x$` (proporcional a la probabilidad).

--

- Es decir, si `$X$` es una variable aleatoria continua con **pdf:** `$f(x)$`, entonces la probabilidad de que `$X$` caiga en un intervalo `$[a, b]$` está dada por:

`$$\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$`

--

- La probabilidad de que `$X$` tome un valor exacto -- e.g., `$X = 3$`. Cuando `$X$` hay infinitos posibles valores que `$X$` puede tomar, por lo que la probabilidad se "reparte" entre todos esos valores.

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#F(x)

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### Función de densidad acumulada (CDF)

- Otra forma de caracterizar una distribución de probabilidad es a través de su **función de densidad acumulada** (CDF)

- La **función de densidad acumulada**, denotada como `$F(x)$`, describe la probabilidad acumulada de que una variable aleatoria `$X$` tome un valor menor o igual a `$x$`. Formalmente:

`$$F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$$`

--

- **Para variables continuas:** La CDF se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad (pdf) `$f(x)$`.

`$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$`

- **Para variables discretas:** La CDF se calcula sumando las probabilidades de todos los valores `$x_i$` que `$X$` puede tomar hasta `$x$`.

`$$F(x) = \sum_{x_i \leq x} \mathbb{P}(X = x_i)$$`

---
### Función de densidad acumulada (CDF)

.pull-left[
| `$x$` | `$f(x):$` pmf  | `$F(x)$`: cdf |
|---------|-------------------|-----------------|
| 2       | `$\frac{1}{36}$`  | `$\frac{1}{36}$`  |
| 3       | `$\frac{2}{36}$`  | `$\frac{3}{36}$`  |
| 4       | `$\frac{3}{36}$`  | `$\frac{6}{36}$`  |
| 5       | `$\frac{4}{36}$`  | `$\frac{10}{36}$` |
| 6       | `$\frac{5}{36}$`  | `$\frac{15}{36}$` |
| 7       | `$\frac{6}{36}$`  | `$\frac{21}{36}$` |
| 8       | `$\frac{5}{36}$`  | `$\frac{26}{36}$` |
| 9       | `$\frac{4}{36}$`  | `$\frac{30}{36}$` |
| 10      | `$\frac{3}{36}$`  | `$\frac{33}{36}$` |
| 11      | `$\frac{2}{36}$`  | `$\frac{35}{36}$` |
| 12      | `$\frac{1}{36}$`  | `$\frac{36}{36}$` |

]

.pull-right[

![](class_3_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png)

]

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class: inverse, center, middle

.huge[
**Hasta la próxima clase. Gracias!**
]

Mauricio Bucca 
https://mebucca.github.io/ 
github.com/mebucca