class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Probabilidad e Inferencia Estadística ] .subtitle[ ## Test de Hipótesis en una muestra ] .author[ ### <br> Mauricio Bucca <br> <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <br> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a> ] --- class: inverse, center, middle # Test de Hipótesis en una muestra --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? .center[] --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? | Torneo | Partido | Predicción | Resultado | |-------------------------|-------------------------|------------|---------------------| | Euro 2008 | Alemania vs Polonia | Alemania | Correcto | | Euro 2008 | Alemania vs Croacia | Alemania | Incorrecto | | Euro 2008 | Alemania vs Austria | Alemania | Correcto | | Euro 2008 | Alemania vs Portugal | Alemania | Correcto | | Euro 2008 | Alemania vs Turquía | Alemania | Correcto | | Euro 2008 | Alemania vs España | Alemania | Incorrecto | | Mundial 2010 | Alemania vs Australia | Alemania | Correcto | | Mundial 2010 | Alemania vs Serbia | Serbia | Correcto | | Mundial 2010 | Ghana vs Alemania | Alemania | Correcto | | Mundial 2010 | Alemania vs Inglaterra | Alemania | Correcto | | Mundial 2010 | Argentina vs Alemania | Alemania | Correcto | | Mundial 2010 | Alemania vs España | España | Correcto | | Mundial 2010 | Uruguay vs Alemania | Alemania | Correcto | | Mundial 2010 | Países Bajos vs España | España | Correcto | --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? ¿Paul tiene habilidades especiales o tuvo suerte? -- Esta es una pregunta empírica y la podemos testear. -- .pull-left[  ] <br> .bold[Paso #1: Expresar pregunta en términos de Hipótesis Nula e Hipótesis Alternativa] <br> -- .bold[Hipótesis Nula]: "Paul no tiene ningún talento especial, sus predicciones son como tirar una moneda al aire". - `\(H_0: \mathbb{P}(\text{Acierto}) = \mathbb{P}(\text{Fallo}) = 0.5\)` <br> -- .bold[Hipótesis Alternativa]: "Paul tiene un talento, acierta más de lo que falla", o quizás "Paul es un mal adivino, falla más de lo que acierta". - `\(H_a: \mathbb{P}(\text{Acierto}) \neq \mathbb{P}(\text{Fallo})\)` --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? -- .bold[Paso #2: Elegir y calcular un estadístico] <br> -- - Los datos nos muestran que Paul acertó en 12 de 14 partidos. -- - Estadístico relevante: proporción de aciertos, `\(\hat{p}\)`. <br> `$$\text{Proporción de Aciertos}: \hat{p} = \frac{12}{14} = 0.857$$` --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? .bold[Paso #3: Determinar la Distribución Nula] -- - Es decir, la distribución muestral de nuestro estadístico bajo el supuesto de que la `\(H_0\)` es verdadera -- Paul no tiene habilidad especial y por tanto `\(\mathbb{P}(\text{Acierto}) = \mathbb{P}(\text{Fallo}) = 0.5\)`. -- - Por el TLC sabemos que: `\(\hat{p} \sim \text{Normal}\bigg(p, \frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n}}\bigg)\)` -- - Por tanto, `\(\hat{p} \mid H_{0} \sim \text{Normal}\bigg(0.5, \frac{\sqrt{0.5(1-0.5)} }{\sqrt{n}}\bigg)\)` <br> -- - Estandarizando podemos derivar un .bold[test-z]: - Si `\(Z_{\hat{p}} = \frac{\hat{p} - p}{\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n}}}\)` entonces: `\(Z_{\hat{p}} \mid H_0 \sim \text{Normal}\big(0, 1\big)\)` -- - Nuestro estadístico `\(\hat{p}\)` se transforma el .bold[test-z], el valor estandarizado de del estadístico bajo `\(H_0\)`: `$$\hat{z} = \frac{\hat{p} - p}{\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n}}} = \frac{0.857 - 0.5}{\frac{\sqrt{0.5(1-0.5)} }{\sqrt{14}}} = 2.6726$$` --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? .bold[Paso #4: Elegir un nivel de significación] `\(\alpha\)` <br> Selecciona un .bold[nivel de significación] `\(\alpha\)`, tal que consideraremos como "demasiado alto"/"demasiado bajo" aquellos valores que corresponden al `\(\alpha\)`% de valores más extremos en la distribución nula. <br> `$$\alpha = \mathbb{P}(\text{Rechazar } H_{0} \mid H_{0} \text{ es verdadera})$$` <br> -- - Mientras menor es `\(\alpha\)` más dificl es rechazar la hipótesis nula. - Dado que no confiamos en pulpos adivinos, vamos trabajar a un nivel alto de significación, `\(\alpha=0.01\)`. --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? .bold[Paso #5: Calcular el valor-p] Si la hipótesis nula fuera verdadera, ¿es nuestro estadístico un valor esperable o un valor extremo? -- En nuestro caso estamos testeando .pull-left[ `\(\text{valor-p} = \mathbb{P}( \bar{X} > |\hat{p}| \mid H_{0} \text{ es verdadera})\)` equivalentemente: `\(\text{valor-p} = \mathbb{P}( Z > \big| \frac{\hat{\mu} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \big| )\)` ``` r n <- 14 p_hat <- 12/14 z_hat <- (p_hat - 0.5)/(sqrt(0.5*0.5) /sqrt(n)) pvalue = 2*(1 - pnorm(z_hat)) cat("z_hat=",round(z_hat,2), " valor-p=", pvalue, sep="") ``` ``` ## z_hat=2.67 valor-p=0.007526315 ``` ] .pull-right[ <!-- --> ] --- ## ¿Puede un pulpo predecir los resultados del futbol? -- .bold[Paso #6: Mantener o Rechazar la Hipótesis Nula] -- - Comparamos -- bajo el supuesto de que `\(H_0\)` es verdaadera -- la probabilidad de obtener el resultados que obtuvimos ( valor-p ) vs. el criterio seleccionado para clasificar resultados como "extremos" ( `\(\alpha\)` ). -- .bold[Decisión:] - Si `\(\text{valor-p} < \alpha\)` entonces rechazamos `\(H_{0}\)` - Si `\(\text{valor-p} > \alpha\)` no podemos rechazar `\(H_{0}\)` <br> -- En este caso: ``` ## 𝛼=0.01; valor-p=0.007526315 ``` .bold[Conclusión:] Una tasa de acierto de 85.7% se encuentra por encima de la proporción esperada bajo el supuesto de que la hipótesis nula -- que Paul acierta con una probabilidad de 0.5. Por tanto con un nivel de significación del 1% (o 99% de confianza) podemos rechazar la hipótesis nula. -- Sigue en pie la posibilidad de que Paul tenga habilidades especiales! --- class: inverse, center, middle .center[  ] --- class: inverse, center, middle ##Hasta la próxima clase. Gracias! <br> Mauricio Bucca <br> https://mebucca.github.io/ <br> github.com/mebucca