Probabilidad e Inferencia Estadística

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.title[
# Probabilidad e Inferencia Estadística
]
.subtitle[
## Teoremas Asintóticos (continuación)
]
.author[
### Mauricio Bucca <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a>
]

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#Teoremas Asintóticos

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#Teorema del Límite Central
##Convergencia en Distribution

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## Teorema del Límite Central

- `$X$` es una variable aleatoria con primer momento `$\mathbb{E}(X) = \mu$`

- Generamos/tomamos una muestra `$\{X_{1},X_{2}, \dots, X_{n}\}$` de tamaño `$n$` donde todas las `$X_{i}$`'s son .bold[iid].
    
- La media aritmética en .bold[esta muestra] es  `$\bar{X}_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$`, donde `$\bar{X}_{n}$` es .bold[aleatoria] porque las `$X_{i}$`'s son aleatorias.

- Sabemos que `$\mathbb{E}(\bar{X}_{n}) = \mu$` and `$\sqrt{\mathbb{Var}\big(\bar{X}_{n} \big)}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$`.

- .bold[¿Cual es la distribución de] `$\bar{X}_{n}$`?

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##Teorema del Límite Central (parte 1)
A medida que el tamaño de una muestra crece, la media aritmética de la muestra .bold[converge en distribución] a un distribución normal con los siguientes parámetros.

.content-box-primary[
`$$\color{white}{\bar{X} \overset{d}{\to}
 \text{Normal}\Bigg(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)}$$`
]

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Específicamente,

- .bold[Convergencia en distribución]: A medida que `$n$` aumenta `$\bar{X}$` tiende a seguir una .bold[distribución normal], .bold[sin importar la distribución original de las variables aleatorias].

- .bold[Inmediatez de la convergencia]: Si las variables originales distribuyen normal la distribución de las medias muestrales será normal, independient del tamaño de la muestra.

- .bold[Variable degenerada en µ]:  A medida que `$n \to \infty$`, `$\bar{X}$` tiende a transformarse en una constante (variable "degenerada").

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##Teorema del Límite Central (parte 1)

.bold[Gráficamente,]

![](class_10_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png)

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##Teorema del Límite Central (parte 1)

.bold[¿Por qué]: `$\bar{X} \sim \text{Normal}\Bigg(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)$`?

--

.img-right[
.center[
![magic](https://media.tenor.com/SWKI18Zs_H8AAAAd/magic-meme.gif)
]
]

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##Teorema del Límite Central (parte 1)

.bold[¿Por qué]: `$\bar{X} \sim \text{Normal}\Bigg(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)$`?

Recordemos que `$\bar{X}$` es la suma de variables aleatorias `$\frac{1}{n}(X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} )$`

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![](class_10_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)

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##Teorema del Límite Central (parte 2)

.bold[Teorema del Límite Central (parte 1)]: Si `$\bar{X} \sim \text{Normal}\bigg(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigg)$`, entonces

.content-box-primary[
`$$\color{white}{ \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}  \sim
 \text{Normal}(0, 1)}$$`
]

.bold[¿Por qué?]

.pull-left[
`\begin{align}
\frac{(\bar{X} - \mu)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} &= \frac{n (\bar{X} - \mu)}{\sqrt{n}\sigma}  \\ 
&=\frac{  (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} ) - (\mu + \mu +  \dots + \mu )}{\sqrt{n}\sigma} \\
&= \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}{Z_{i}} \quad \text{ donde } Z_{i} \sim \text{Normal}(0, 1)
\end{align}`
]

.pull-left[

`$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \mathbb{E}(\sum_{i=1}^{n}{Z_{i}}) = 0, \quad \mathbb{Var}(\sum_{i=1}^{n}{Z_{i}}) = n$`

`$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \sqrt{\mathbb{Var}(\sum_{i=1}^{n}{Z_{i}})} = \sqrt{n}$`

`$\quad \quad \quad \quad$` Por tanto

`$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}{Z_{i}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \text{Normal}(0, n) \sim \text{Normal}(0, 1)$`

]

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##Hasta la próxima clase. Gracias!

Mauricio Bucca 
https://mebucca.github.io/ 
github.com/mebucca