class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Probabilidad e Inferencia Estadística ] .subtitle[ ## #1: Fundamentos de Probabilidades ] .author[ ### <br> Mauricio Bucca <br> <a href="https://github.com/mebucca">github.com/mebucca</a> <br> <a href="mailto:mebucca@uc.cl" class="email">mebucca@uc.cl</a> ] --- class: inverse, center, middle # Fundamentos de Probabilidades --- ## Experimentos aleatorios Un .bold[experimento aleatorio] es un experimento - real o hipotético - en el que todos los posibles resultados son conocidos *a priori*. <br> -- Ejemplo: - Experimento: Tirar un dado - Posibles resultados: números enteros entre 1 y 6 <br> -- El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama "espacio muestral", `\(\Omega\)`. En este caso: `$$\Omega: \{1,2,3,4,5,6 \}$$` <br> -- En palabras, `\(\Omega: \{1,2,3,4,5,6 \}\)` significa que nuestro experimento, consistente en tirar un dado, puede resultar en: "1 o 2 o 3... o 6" --- ## Eventos Un .bold[evento] es un subconjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento. <br> -- Ejemplo: - Experimento: Tirar un dado - "A" es el evento de "obtener un 1 o un 5" <br> -- Formalmente, `$$A : \text{dado=1 o dado=5}$$` --- ## Probabilidad Para cualquier .bold[*evento*] es posible asociar un número que cuantifique la .bold[probabilidad] de ocurrencia de tal evento. <br> -- Continuando con nuestro ejemplo, - Experimento: Tirar un dado - Espacio muestral, `\(\Omega: \{1,2,3,4,5,6\}\)` - A es el evento de "obtener un 1 o un 5" ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A? <br> -- Formalmente, `$$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\text{dado=1 o dado=5})$$` <br> donde `\(\mathbb{P}(.)\)` refiere a la probabilidad de ocurrencia del evento y `\(\mathbb{P}(.) \in [0,1]\)` --- ## Probabilidad .bold[Ejercicio rápido]: * Supuesto: el dado es "justo", es decir, todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia -- .full-width[.content-box-primary[ .bolder[Preguntas]: 1) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada valor en el espacio muestral? 2) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del evento A (obtener un 1 o un 5)? ] ] -- .bold[Respuestas:] 1) `\(\frac{1}{6}\)` 2) `\(\frac{2}{6}\)` -- Detrás de estas respuestas hay una comprensión intuitiva de algunas propiedades importantes de la probabilidad. --- ### Reglas básicas de probabilidad 1) Las probabilidades están limitadas entre cero y uno. Si A es un evento, entonces: `$$0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1$$` <br> -- 2) La probabilidad de que dos eventos mutuamente excluyentes ocurran al mismo tiempo es cero. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces: `$$\mathbb{P}(A \text{ y }B) = 0$$` Por ejemplo, - si `\(A:\text{dado=1 o dado=5}\)` - y `\(B:\text{dado=6}\)` <br> -- entonces `\(\mathbb{P}(A \text{ y } B) = 0\)` --- ### Reglas básicas de probabilidad 3) Si A y B son dos eventos la probabilidad de que *al menos* uno de los dos ocurra es llamada la "unión" de ambos eventos y viene dada por: `$$\mathbb{P}(A \text{ o } B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \text{ y } B)$$` <br> -- Por ejemplo, - si `\(A: \text{dado=1 o dado=5}\)` - y `\(B:\text{dado=5 o dado=6}\)` entonces, `$$\mathbb{P}(A \text{ o } B) = \mathbb{P}(\text{dado=1 o dado=5}) + \mathbb{P}(\text{dado=5 o dado=6}) - \mathbb{P}(\text{dado=5})$$` --- ### Reglas básicas de probabilidad .bold[Ejercicio rápido]: - Experimento: tirar un dado - Supuesto: el dado es "justo", es decir, todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia <br> -- .full-width[.content-box-primary[ .bolder[Pregunta]: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 o un 4? ] ] -- .full-width[.content-box-secondary[ .bolder[Respuesta]: `\begin{align} \mathbb{P}(\text{dado=3 o dado=4}) &= \mathbb{P}(\text{dado=3}) + \mathbb{P}(\text{dado=4}) - \mathbb{P}(\text{dado=3 y dado=4}) \\ &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{2}{6} \end{align}` ] ] --- ### Reglas básicas de probabilidad 4) De los puntos 2 y 3 se deduce que la probabilidad de la unión de dos eventos desunidos, A y B, viene dada por: `$$\mathbb{P}(A \text{ or } B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$$` --- ### Reglas básicas de probabilidad 5) La probabilidad del espacio muestral es uno. <br> -- Formalmente, si denotamos cada posible resultado de un experimento como `\(A_{i}\)`, entonces: `$$\mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(A_{1} \text{ o } A_{2} \dots \text{ o } A_{n}) = \sum_{i} \mathbb{P}(A_{i}) = 1$$` <br> -- Por ejemplo - Experimento: tirar un dado justo Entonces, `\begin{align} \mathbb{P}(\Omega) &= \mathbb{P}(\text{dado=1 o ... o dado=6}) \\ \\ &= \mathbb{P}(\text{dado=1}) + \dots + \mathbb{P}(\text{dado=6}) \\ \\ &= \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6} = 1 \end{align}` --- ### Reglas básicas de probabilidad 6) Se sigue de (5) que si dos eventos A y B dividen el espacio muestral en dos particiones mutuamente excluyentes entonces sus probabilidades son complementarias. <br> -- Formalmente, `$$\mathbb{P}(A) = 1 - \mathbb{P}(B)$$` <br> -- Por ejemplo - Experimento: tirar un dado justo - `\(A: \text{dado < 3}\)` - `\(B:\text{dado} \geq 3\)` Entonces, `\begin{align} \mathbb{P}(A) &= 1 - \mathbb{P}(B) \\ &= 1 - \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{6} \end{align}` --- class: inverse, center, middle ##Hasta la próxima clase. Gracias! <br> Mauricio Bucca <br> https://mebucca.github.io/ <br> github.com/mebucca