Tarea corta #3

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SOL114

Ponderación: 6% de la nota final del curso.

Problema

María Rojas, analista de datos, actualmente gana $1,80 millones de pesos chilenos al mes en la Empresa A. La Empresa B le ofrece un paquete salarial con dos componentes:

  • Una cantidad fija de $1,10 millones al mes, independiente de su rendimiento.
  • Un gran bono de $3,00 millones adicionales si logra un éxito excepcional en su área.

La probabilidad de éxito se modela con una distribución Binomial simple: María enfrenta 10 proyectos al mes, cada uno con probabilidad \(p=0,05\) de resultar excepcional. Si al menos 1 proyecto es excepcional, recibe el bono completo.

Sea \(Y \sim \text{Binomial}(n=10, p=0.05)\) el número de proyectos excepcionales en el mes. El salario mensual ofrecido por la Empresa B se expresa como:

\[ S_B = 1{,}10 + 3{,}00\, I(Y \geq 1) \quad \text{(millones de pesos chilenos al mes)} \]

donde \(I(Y \geq 1)\) es una variable indicadora que vale 1 si ocurre al menos un éxito y 0 en caso contrario.

Preguntas y Soluciones

1) María confía en que tendrá al menos un éxito en el mes. Con ese supuesto, evalúa si el salario que podría ganar en la Empresa B superaría su sueldo actual de \(1,80\) millones.
Solución: Si ocurre al menos un éxito, María recibe el bono completo:
\[ S_B = 1.10 + 3.00 = 4.10 \; \text{millones} \] Comparación: \(4.10 > 1.80\). Le conviene cambiarse si está segura del éxito.

2) María decide tomar la oferta de B solo si su salario esperado en B supera su salario actual en A. Calcula el salario esperado en B e indica qué decisión tomaría María bajo este criterio. (Pista: \(P(Y \geq 1) = 1 - P(Y=0)\))
Solución: La probabilidad de al menos un éxito es:
\[ P(Y \geq 1) = 1 - 0.95^{10} \approx 0.4013 \] Entonces:
\[ E[S_B] = 1.10 + 3.00 \times 0.4013 = 2.304 \; \text{millones} \] Comparación: \(2.304 > 1.80\). Según el criterio del valor esperado, conviene aceptar la oferta.

3) A María también le preocupa la incertidumbre en torno a su salario en B. Calcula la desviación estándar de \(S_B\) e interpreta el resultado sustantivamente.
Solución: \(S_B\) toma dos valores:
- Con probabilidad 0.4013: \(S_B = 4.10\)
- Con probabilidad 0.5987: \(S_B = 1.10\)

\[ E[S_B^2] = (1.10^2)(0.5987) + (4.10^2)(0.4013) = 7.468 \] \[ \text{Var}(S_B) = 7.468 - (2.304)^2 = 2.155 \] \[ SD(S_B) = \sqrt{2.155} \approx 1.47 \; \text{millones} \]

👉 Aunque el salario esperado es mayor en B, la variabilidad es alta: María puede ganar tan bajo como 1.10 millones o tan alto como 4.10 millones.