Tarea corta #2

Ponderación: 6% de la nota final del curso.

Enunciado

Imagina una enfermedad muy rara y una prueba para detectarla. Estos son los datos:

• Prevalencia de la enfermedad \(E\): \(P(E)=0.001\) (0.1%).
• Sensibilidad: \(P(T\mid E)=0.99\).
• Falso positivo: \(P(T\mid \neg E)=0.05\).

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1. Probabilidad de estar enfermo dado test positivo

Pregunta. ¿Cuál es \(P(E\mid T)\)? Usa el teorema de Bayes.

Solución. Por Bayes:

\[ P(E\mid T)=\frac{P(T\mid E)\,P(E)}{P(T\mid E)\,P(E)+P(T\mid \neg E)\,P(\neg E)}. \]

Reemplazando:

\[ P(E\mid T)=\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.05\times 0.999} =\frac{0.00099}{0.00099+0.04995} =\frac{0.00099}{0.05094}\approx 0.0194. \]

Respuesta. La probabilidad de estar enfermo dado que el test salió positivo es aproximadamente 1.94%.

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2. Exactamente 2 de 3 personas con la enfermedad

Pregunta. Si elegimos 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan la enfermedad?

Modelo. Supongamos independencia e igual probabilidad \(p=P(E)=0.001\) por persona. Entonces el número de casos en \(n=3\) ensayos sigue una binomial: \(X\sim \mathrm{Bin}(n=3, p=0.001)\).

Buscamos \(P(X=2)\):

\[ P(X=2)=\binom{3}{2}p^2(1-p)^{1}. \]

Reemplazando:

\[ P(X=2)=3\,(0.001)^2\,(0.999)=3\times 10^{-6}\times 0.999=2.997\times 10^{-6}. \]